2023年全國普通高等學校招生統一考試（上海）
數學試卷（文史類）
一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）
1、計算為虛數單位）
2、若集合，，則
3、函式的最小正週期是
4、若是直線的乙個方向向量，則的傾斜角的大小為結果用反三角函式值表示）
5、乙個高為2的圓柱，底面周長為，該圓柱的表面積為
6、方程的解是
7、有一列正方體，稜長組成以1為首項、為公比的等比數列，體積分別記為，則
8、在的二項式展開式中，常數項等於
9、已知是奇函式，若且，則
10、滿足約束條件的目標函式的最小值是
11、三位同學參加跳高、跳遠、鉛球專案的比賽，若每人只選擇乙個專案，則有且僅有兩位同學選擇的專案相同的概率是 （結果用最簡分數表示）
12、在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值範圍是
13、已知函式的影象是折線段，其中、、，函式（）的影象與軸圍成的圖形的面積為
14、已知，各項均為正數的數列滿足，，若，則的值是
二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）
15、若是關於的實係數方程的乙個複數根，則（ ）
a、 b、 c、 d、
16、對於常數、，「」是「方程的曲線是橢圓」的（ ）
a、充分不必要條件 b、必要不充分條件 c、充分必要條件 d、既不充分也不必要條件
17、在△中，若，則△的形狀是（ ）
a、鈍角三角形 b、直角三角形 c、銳角三角形 d、不能確定
18、若（），則在中，正數的個數是（ ）
a、16b、72c、86d、100
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）
19、（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
如圖，在三稜錐中，⊥底面，是的中點，已知∠＝，，，，求：
（1）三稜錐的體積
（2）異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函式值表示）
20、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知（1）若，求的取值範圍
（2）若是以2為週期的偶函式，且當時，，求函式（）的反函式
21、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為軸正方向建立平面直角座標系（以1海浬為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海浬處，如圖，現假設：①失事船的移動路徑可視為拋物線；②定位後救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發小時後，失事船所在位置的橫座標為
（1）當時，寫出失事船所在位置的縱座標，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向
（2）問救援船的時速至少是多少海浬才能追上失事船？
22、（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分
在平面直角座標系中，已知雙曲線
（1）設是的左焦點，是右支上一點，若，求點的座標；
（2）過的左焦點作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設斜率為（）的直線交於、兩點，若與圓相切，求證：⊥
23、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分
對於項數為的有窮數列，記（），即為中的最大值，並稱數列是的控制數列，如1，3，2，5，5的控制數列是1，3，3，5，5
（1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2，3，4，5，5，寫出所有的
（2）設是的控制數列，滿足（為常數，），求證：（）
（3）設，常數，若，是的控制數列，求
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