1直線的傾斜角和斜率
1傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規定α= 0°.
2、 傾斜角α的取值範圍： 0°≤α＜180°.
當直線l與x軸垂直時, α= 90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k = tanα
⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直線的斜率公式:
給定兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的座標來表示直線p1p2的斜率：
斜率公式
2兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那麼它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那麼它們平行，即
注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論並不成立．即如果k1=k2, 那麼一定有l1∥l2
2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那麼它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那麼它們互相垂直，即
3.直線的點斜式方程
1、 直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為
2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為
4 直線的兩點式方程
1、直線的兩點式方程：已知兩點其中
2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為a，與軸的交點為b，其中
5 直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關於的二元一次方程（a，b不同時為0）
2、各種直線方程之間的互化。
6直線的交點座標與距離公式
1兩直線的交點座標
1、給出例題：兩直線交點座標
l1 ：3x+4y-2=0
l1：2x+y +2=0
解：解方程組
得 x=-2，y=2
所以l1與l2的交點座標為m（-2，2）
2.兩點間距離
兩點間的距離公式
3.點到直線的距離公式
1．點到直線距離公式：
點到直線的距離為：
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，
：，則與的距離為
《直線與方程》測試題
一、選擇題
1．若直線x＝1的傾斜角為 ，則
a．等於0b．等於c．等於d．不存在
2．圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則( )．
a．k1＜k2＜k3 b．k3＜k1＜k2 c．k3＜k2＜k1d．k1＜k3＜k2
3．已知直線l1經過兩點(－1，－2)、(－1，4)，直線l2經過兩點(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，則x＝( )．
a．2b．－2c．4d．1
4．已知直線l與過點m(－，)，n(，－)的直線垂直，則直線l的傾斜角是( )．
abcd．
5．如果ac＜0，且bc＜0，那麼直線ax＋by＋c＝0不通過( )．
a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限
6．設a，b是x軸上的兩點，點p的橫座標為2，且|pa|＝|pb|，若直線pa的方程為x－y＋1＝0，則直線pb的方程是( )．
a．x＋y－5＝0 b．2x－y－1＝0 c．2y－x－4＝0 d．2x＋y－7＝0
7．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為( )．
a．19x－9y＝0b．9x＋19y＝0 c．19x－3y＝ 0 d．3x＋19y＝0
8．直線l1：x＋a2y＋6＝0和直線l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0沒有公共點，則a的值是．
a．3b．－3c．1d．－1
9．將直線l沿y軸的負方向平移a(a＞0)個單位，再沿x軸正方向平移a＋1個單位得直線l'，此時直線l' 與l重合，則直線l' 的斜率為( )．
abcd．
10．點(4，0)關於直線5x＋4y＋21＝0的對稱點是( )．
a．(－6，8) b．(－8，－6) c．(6，8d．(－6，－8)
二、填空題
11．已知直線l1的傾斜角 1＝15°，直線l1與l2的交點為a，把直線l2繞著點a按逆時針方向旋轉到和直線l1重合時所轉的最小正角為60°，則直線l2的斜率k2的值為
12．若三點a(－2，3)，b(3，－2)，c(，m)共線，則m的值為
13．已知長方形abcd的三個頂點的座標分別為a(0，1)，b(1，0)，c(3，2)，求第四個頂點d的座標為 ．
14．求直線3x＋ay＝1的斜率 ．
15．已知點a(－2，1)，b(1，－2)，直線y＝2上一點p，使|ap|＝|bp|，則p點座標為
16．與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩座標軸上截距的和為6的直線方程是 ．
17．若一束光線沿著直線x－2y＋5＝0射到x軸上一點，經x軸反射後其反射線所在直線的方程是
三、解答題
18．設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈r，m≠－1)，根據下列條件分別求m的值：
①l在x軸上的截距是－3斜率為1．
19．已知△abc的三頂點是a(－1，－1)，b(3，1)，c(1，6)．直線l平行於ab，交ac，bc分別於e，f，△cef的面積是△cab面積的．求直線l的方程．
20．一直線被兩直線l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的線段的中點恰好是座標原點，求該直線方程．
21．直線l過點(1，2)和第
一、二、四象限，若直線l的橫截距與縱截距之和為6，求直線l的方程．
第三章直線與方程
參***
a組一、選擇題
1．c解析：直線x＝1垂直於x軸，其傾斜角為90°．
2．d解析：直線l1的傾斜角 1是鈍角，故k1＜0；直線l2與l3的傾斜角 2， 3 均為銳角且 2＞ 3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故應選d．
3．a解析：因為直線l1經過兩點(－1，－2)、(－1，4)，所以直線l1的傾斜角為，而l1∥l2，所以，直線l2的傾斜角也為，又直線l2經過兩點(2，1)、(x，6)，所以，x＝2．
4．c解析：因為直線mn的斜率為，而已知直線l與直線mn垂直，所以直線l的斜率為1，故直線l的傾斜角是．
5．c解析：直線ax＋by＋c＝0的斜率k＝＜0，在y軸上的截距＞0，所以，直線不通過第三象限．
6．a解析：由已知得點a(－1，0)，p(2，3)，b(5，0)，可得直線pb的方程是x＋y－5＝0．
7．d 8．d 9．b
解析: 結合圖形，若直線l先沿y軸的負方向平移，再沿x軸正方向平移後，所得直線與l重合，這說明直線 l 和l』 的斜率均為負，傾斜角是鈍角．設l』 的傾斜角為 ，則
tan ＝．
10．d解析：這是考察兩點關於直線的對稱點問題．直線5x＋4y＋21＝0是點a(4，0)與所求點a'(x，y)連線的中垂線，列出關於x，y的兩個方程求解．
二、填空題
11．－1．解析：設直線l2的傾斜角為 2，則由題意知：
180°－ 2＋15°＝60°， 2＝135°，
∴k2＝tan 2＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．．
解：∵a，b，c三點共線，
∴kab＝kac，．解得m＝．
13．(2，3)．解析：設第四個頂點d的座標為(x，y)，
∵ad⊥cd，ad∥bc，
∴kad·kcd＝－1，且kad＝kbc．
∴·＝－1，＝1．
解得(捨去)
所以，第四個頂點d的座標為(2，3)．
14．－或不存在．解析：若a＝0時，傾角90°，無斜率．
若a≠0時，y＝－x＋
∴直線的斜率為－．
15．p(2，2).解析：設所求點p(x，2)，依題意：＝，解得x＝2，故所求p點的座標為(2，2)．
16．10x＋15y－36＝0．
解析：設所求的直線的方程為2x＋3y＋c＝0，橫截距為－，縱截距為－，進而得
c = －．
17．x＋2y＋5＝0．
解析：反射線所在直線與入射線所在的直線關於x軸對稱，故將直線方程中的y換成
－y．三、解答題
18．①m＝－；②m＝．
解析：①由題意，得
＝－3，且m2－2m－3≠0．
解得 m＝－．
②由題意，得＝－1，且2m2＋m－1≠0．
解得 m＝．
19．x－2y＋5＝0．
解析：由已知，直線ab的斜率 k＝＝．
因為ef∥ab，所以直線ef的斜率為．
因為△cef的面積是△cab面積的，所以e是ca的中點．點e的座標是(0，)．
直線ef的方程是 y－＝x，即x－2y＋5＝0．
20．x＋6y＝0．
解析：設所求直線與l1，l2的交點分別是a，b，設a(x0，y0)，則b點座標為
(－x0，－y0)．
因為a，b分別在l1，l2上，
所以①＋②得：x0＋6y0＝0，即點a在直線x＋6y＝0上，又直線x＋6y＝0過原點，所以直線l的方程為x＋6y＝0．
21．2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．
解析：設直線l的橫截距為a，由題意可得縱截距為6－a．
∴直線l的方程為．
∵點(1，2)在直線l上，∴，a2－5a＋6＝0，解得a1＝2，a2＝3．當a＝2時，直線的方程為，直線經過第
一、二、四象限．當a＝3時，直線的方程為，直線經過第
一、二、四象限．
綜上所述，所求直線方程為2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．
高一數學必修2第三章直線與方程知識點
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