數學必修二——直線與方程
（一）直線的斜率
1. 坡度：是指斜坡起止點間的高度差與水平距離的比值。
2. 直線的斜率：已知兩點如果，那麼直線pq的斜率為
練習：直線都經過點p（2,3），又分別經過試計算的斜率。
（1）當直線的斜率為正時，直線從左下方向右上方傾斜
（2）當直線的斜率為負時，直線從左上方向右下方傾斜。
（3）當直線的斜率為零時，直線與x軸平行或重合
說明：1、如果，那麼直線pq的斜率不存在（與x軸垂直的直線不存在斜率）
2、由直線上任意兩點確定的斜率總是相等的。
3、直線的傾斜角：在平面直角座標系中，對於一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那麼就叫做直線的傾斜角。
當直線和軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°。
因此，根據定義，我們可以得到傾斜角的取值範圍是0°≤＜180°。
4、直線傾斜角與斜率的關係：
當直線的斜率為正時，直線的傾斜角為銳角，此時有
當直線的斜率為負時，直線的傾斜角為鈍角，此時有
概念辨析：為使大家鞏固傾斜角和斜率的概念，我們來看下面的題。
關於直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的：
a. 任一條直線都有傾斜角，也都有斜率；
b. 直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；
c. 平行於x軸的直線的傾斜角是0或180°；
d. 兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；
e. 直線斜率的範圍是（－∞，＋∞）。
辨析：上述說法中，e正確，其餘均錯誤，原因是：
a. 與x軸垂直的直線傾斜角為90°，但斜率不存在；
b.舉反例說明，
c. 平行於軸的直線的傾斜角為0；
d. 如果兩直線的傾斜角都是90°，但斜率不存在，也就談不上相等.
說明：①當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°；②直線傾斜角的取值範圍是；③傾斜角是90°的直線沒有斜率。
（二）直線方程
1. 直線方程的概念：以乙個方程的解為座標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的點的座標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。
問題一：已知直線經過點，且斜率為，如何求直線的方程？
因為經過直線上乙個定點與經過這條直線上任意一點的直線是都惟一的，其斜率都等於。
所以，要把它變成方程.
因為前者表示的直線上缺少乙個點，而後者才是整條直線的方程.
2. 直線的點斜式方程
已知直線經過點，且斜率為，直線的方程：為直線方程的點斜式。
直線的斜率時，直線方程為；當直線的斜率不存在時，不能用點斜式求它的方程，這時的直線方程為。
問題二：已知直線經過點p（0，b），並且它的斜率為，求直線的方程？
3. 直線的斜截式方程
已知直線經過點p（0，b），並且它的斜率為k，直線的方程：為斜截式。
說明：（1）斜截式在形式上與一次函式的表示式一樣，它們之間有什麼差別？只有當時，斜截式方程才是一次函式的表示式。
（2）斜截式中，表示直線的斜率，b叫做直線在y軸上的截距。
4. 直線方程的兩點式
已知直線上兩點，b（，求直線方程。
首先利用直線的斜率公式求出斜率，然後利用點斜式寫出直線方程為：
由可以匯出，由於這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線方程的兩點式。
注意：傾斜角是0°或90°的直線不能用兩點式公式表示。
5. 直線方程的截距式
定義：直線與軸交於一點（,0）定義為直線在軸上的截距；直線與y軸交於一點（0,）定義為直線在軸上的截距。
叫做直線方程的截距式。，表示截距，它們可以是正，也可以是負，也可以為0。當截距為零時，不能用截距式。
直線方程的四種特殊形式各自都有自己的優點，但都有侷限性，即無法表示平面內的任一條直線。
問題3：是否存在某種形式的直線方程，它能表示平面內的任何一條直線？
（其中a、b、c是常數，a、b不全為0）的形式，叫做直線方程的一般式。
**1：方程總表示直線嗎？
根據斜率存在不存在的分類標準，即b等於不等於0來進行分類討論：
若方程可化為，它是直線方程的斜截式，表示斜率為，截距為的直線；
若b＝0，方程變成.由於a、b不全為0，所以，則方程變為，表示垂直於x軸的直線，即斜率不存在的直線.
結論：當a、b不全為0時，方程表示直線，並且它可以表示平面內的任何一條直線。
【典型例題】
例1. 若三點，，共線，求的值。
解：例2. 已知兩點a（－3,4）、b（3，2），過點p（2，－1）的直線與線段ab有公共點，求直線的斜率k的取值範圍。
解：k≤－1或k≥3
例3. （1）直線在軸上的截距是－1，而且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（ ）
a. a＝，b＝1 b. a＝－，b＝－1 c. a＝，b＝－1d. a＝－，b＝1
解：將直線方程化成斜截式.
因為＝－1，b＝－1，故否定a、d
又直線的傾斜角＝，
∴直線的傾斜角為2＝，
∴斜率－＝－，
∴a＝－，b＝－1，故選b。
（2）若直線通過第
二、三、四象限，則係數a、b、c需滿足條件（ ）
a. a、b、c同號 b. ac＜0，bc＜0
c.c＝0，ab＜0 d. a＝0，bc＜0
解：原方程可化為（b≠0）
∵直線通過第
二、三、四象限
∴其斜率小於0，軸上的截距小於0，即－＜0，且－＜0
∴＞0，且＞0
即a、b同號，b、c同號 ∴a、b、c同號，故選a
例4. 根據下列各條件寫出直線的方程，並且化成一般式：
（1）斜率是－，經過點a（８，－2）；
（2）經過點b（４，2），平行於軸；
（3）在軸和軸上的截距分別是,－3；
（4）經過兩點（3，－2）、（5，－４）.
解：（1）由點斜式得－（－2）＝－（－8）
化成一般式得＋2－4＝0
（2）由斜截式得＝2，化成一般式得－2＝0
（3）由截距式得，化成一般式得2－－3＝0
（4）由兩點式得，化成一般式得＋－1＝0
例5. 直線方程的係數a、b、c滿足什麼關係時，這條直線有以下性質?
（1）與兩條座標軸都相交；（2）只與軸相交；
（3）只與軸相交；（4）是軸所在直線；（5）是軸所在直線。
答：（1）當a≠0，b≠0，直線與兩條座標軸都相交。
（2）當a≠0，b＝0時，直線只與軸相交。
（3）當a＝0，b≠0時，直線只與軸相交。
（4）當a＝0，b≠0，c＝0，直線是軸所在直線。
（5）當a≠0，b＝0，c＝0時，直線是軸所在直線。
例6. 求過點p（2，3），並且在兩軸上的截距相等的直線方程。
解：在兩軸上的截距都是0時符合題意，此時直線方程為3－2＝0
若截距不為0，則設直線方程為＝1
將點p（2，3）代入得＝1，解得a＝5
∴直線方程為＝1，即＋＝5
【模擬試題】
一、選擇題
1. 下列四個命題中，真命題是（ ）
a. 經過定點的直線都可以用方程表示
b. 經過兩個不同的點，的直線都可以用方程：來表示
c. 與兩條座標軸都相交的直線一定可以用表示
d. 經過點q（0，b）的直線方程都可以表示為y＝kx＋b
2. 直線m（x＋y－1）＋（3y－4x＋5）＝0不能化成截距式方程，則m的值為（ ）
a. 5b. －3或4
c. －3或4或5d. m∈（－∞，－3）∪（4，5）∪（5，＋∞）
3. 關於直線的斜率，下列說法中正確的是（ ）
a. 斜率是正數時，直線必過一，三象限；b. 直線的傾斜角越大，斜率就越大；
c. 直線的位置是由斜率確定的；d.所有直線都有斜率
4. 若點p（x0,y0）在直線ax＋by＋c＝0上，則直線方程可表示為（ ）
a. a（x－x0）＋b（y－y0）＝0 b. a（x－x0）－b（y－y0）＝0
c. b（x－x0）＋a（y－y0）＝0 d. b（x－x0）－a（y－y0）＝0
5. 若直線4x－3y－12＝0被兩座標軸截得的線段長為，則c的值為（ ）
a. 1 b. c. ± d. ±1
6. 過點p（1，1）作直線l，與兩座標軸相交所得三角形面積為10，則直線l有（ ）
a. 1條 b. 2條 c. 3條 d. 4條
7. 直線（＝0）的圖象是（ ）
8. 若三點（2，3），（3，a），（4，b）在一條直線上，那麼（ ）
a. a＝3，b＝5 b. b－a＝1
c. 2a－b＝3 d. a－2b＝3
二、填空題
9. 若直線過（－2，3）和（6，－5）兩點，則直線的斜率為 ，傾斜角為
10. 已知兩點a（x，－2），b（3，0），並且直線ab的斜率為，則x＝ 。
11. 對於任意實數k，直線必過一定點，則該定點座標是________。
12. 直線在軸上截距是它在軸上截距的3倍，則等於
三、解答題
13. 求下列直線的斜率和在軸上的截距，並畫出圖形：
（1）3＋－5＝0；（2）＝1；（3） ＋2＝0；（4）7－6＋４＝0；（5）2－7＝0
14. 求經過a（－2，0）、b（－5，3）兩點的直線的斜率和傾斜角。
15. 菱形的兩條對角線長分別等於8和6，並且分別位於軸和軸上，求菱形各邊所在的直線的方程。
16. 已知直線
（1）當b≠0時，斜率是多少?當b＝0時呢?
（2）係數取什麼值時，方程表示通過原點的直線?
【試題答案】
一、選擇題
1. b 2. c 3. a 4. a 5. b 6. d 7. c 8. c
7. 提示：解法一：由已知，直線的斜率為，在軸上的截距為
又因為＝0
∴與互為相反數，即直線的斜率及其在軸上的截距互為相反數
圖a中，＞0，＞0；圖b中，＜0，＜0；圖c中，＞0，＝0
故排除a、b、c 選d
解法二：由於所給直線方程是斜截式，所以其斜率≠0，於是令＝0，解得。
又因為＝0，∴，∴∴直線在軸上的截距為1，由此可排除a、b、c，故選d。
高一數學必修2第三章知識歸納總結
相交直線 同一平面內，有且只有乙個公共點 平行直線 同一平面內，沒有公共點 異面直線 不同在任何乙個平面內，沒有公共點。2 強調 公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面 空間這個性質都適用。公理4作用 判斷空間兩條直線平行的依據。3 注意點 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的...
高中數學必修2第三章直線與方程總結
第三章直線與方程知識點總結 一 概念理解 1 傾斜角 找 直線向上方向 x軸正方向 平行 0 範圍 0 180 2 斜率 找k k tan 90 垂直 斜率k不存在 範圍 斜率 k r 3 斜率與座標 構造直角三角形 數形結合 斜率k值於兩點先後順序無關 注意下標的位置對應。4 直線與直線的位置關係...
高中數學必修2第三章直線與方程總結
第三章直線與方程知識點總結 代縣中學高二數學組 一 概念理解 1 傾斜角 找 直線向上方向 x軸正方向 平行 0 範圍 0 180 2 斜率 找k k tan 90 垂直 斜率k不存在 範圍 斜率 k r 當 0 時，k 0 當0 90 時，k.0 當 90 時，k不存在 當90 180 k 0 3...