一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當時,; 當時,; 當時,不存在。
②過兩點的直線的斜率公式:
注意下面四點:(1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
(2)k與p1、p2的順序無關;(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。
例:1.已知直線的斜率的絕對值等於,則直線的傾斜角為( ).
a. 60° b. 30° c. 60°或120° d. 30°或150°
2. 經過,兩點的直線的斜率是傾斜角是_______.
(3)直線方程
①點斜式:直線斜率k,且過點
注意:當直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1。
當直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫座標都等於x1,所以它的方程是x=x1。
例:方程表示( ).
a. 通過點的所有直線b. 通過點的所有直線
c. 通過點且不垂直於軸的直線 d. 通過點且除去軸的直線
②斜截式:,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
例:直線=3x-5在y軸上的截距是( ).
a. 3b.-5 c. -3 d. 5
③兩點式:()直線兩點,
例:過兩點和的直線的方程為( ).
a. b. c. d.
④截矩式:
其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。
例:直線在軸上的截距是( ).
abcd.
⑤一般式:(a,b不全為0)
例:1.若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,則a
2.已知直線mx+ny+1=0平行於直線4x+3y+5=0,且在y軸上的截距為,則m,n的值分別為( ).
a. 4和3b. -4和3 c. -4和-3 d. 4和-3
(5)直線系方程:即具有某一共同性質的直線
(一)平行直線系
平行於已知直線(是不全為0的常數)的直線系:(c為常數)
(二)過定點的直線系
(ⅰ)斜率為k的直線系:,直線過定點;
(ⅱ)過兩條直線,的交點的直線系方程為
(為引數),其中直線不在直線系中。
(6)兩直線平行與垂直
當,時,
; 注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否。
(7)兩條直線的交點
相交交點座標即方程組的一組解。
方程組無解方程組有無數解與重合
例:直線與的交點是( ).
a. b. c. d.
(8)兩點間距離公式:設是平面直角座標系中的兩個點,
則 例:已知,則|ab|等於( ).
a. 4 b. c. 6 d.
(9)點到直線距離公式:一點到直線的距離
例:1.點(0,5)到直線y=2x的距離是( ).
ab. cd.
2.已知點a(,6)到直線3-4=2的距離d=4,求的值.
(10)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點,再轉化為點到直線的距離進行求解。
例:兩平行直線和間的距離是
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