圓與方程知識點整理

一、標準方程:

二、一般方程：

1.表示圓方程則

2.求圓的一般方程一般可採用待定係數法。3.常可用來求有關引數的範圍

三、點與圓的位置關係

1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小：點在圓內；點在圓上；點在圓外

2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值

（2）圓內一點，圓上一動點，討論的最值

四、直線與圓的位置關係

1.判斷方法（為圓心到直線的距離）：（1）相離沒有公共點；（2）相切只有乙個公共點；（3）相交有兩個公共點。

這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關引數的範圍.

2.直線與圓相切

（1）知識要點：①基本圖形

②主要元素：切點座標、切線方程、切線長等

問題：直線與圓相切意味著什麼？圓心到直線的距離恰好等於半徑

（2）常見題型——求過定點的切線方程

①切線條數：點在圓外——兩條；點在圓上……一條；點在圓內……無

②求切線方程的方法及注意點

）點在圓外：如定點，圓：，

第一步：設切線方程；第二步：通過，從而得到切線方程

特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當不存在時，應補上……千萬不要漏了！

如：過點作圓的切線，求切線方程.

）點在圓上：（1）若點在圓上，則切線方程為

（2）若點在圓上，則切線方程為

由上述分析：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步——判斷點與圓的位置關係，得出切線的條數.

③求切線長：利用基本圖形，

求切點座標：利用兩個關係列出兩個方程

3.直線與圓相交

（1）求弦長及弦長的應用問題：垂徑定理及勾股定理——常用

弦長公式：

（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法：直線過定點，而定點恰好在圓內.

（3）關於點的個數問題

例：若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值範圍是答案：

4.直線與圓相離：會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些引數時）

五、對稱問題

1.若圓，關於直線，則實數的值為____.

答案：3（注意：時，，故捨去）

變式：已知點是圓:上任意一點，點關於直線的對稱點在圓上，則實數

2.圓關於直線對稱的曲線方程是

變式：已知圓：與圓：關於直線對稱，則直線的方程為

3.圓關於點對稱的曲線方程是

4.已知直線：與圓：，問：是否存在實數使自發出的光線被直線反射後與圓相切於點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由.

六、最值問題方法主要有三種：（1）數形結合；（2）代換；（3）引數方程

1.已知實數，滿足方程，求：

（1）的最大值和最小值；——看作斜率（2）的最小值；——截距（線性規劃）

（3）的最大值和最小值.——兩點間的距離的平方

2.已知中，，，，點是內切圓上一點，求以，，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值. 數形結合和引數方程兩種方法均可！

3.設為圓上的任一點，欲使不等式恆成立，則的取值範圍是答案：（數形結合和引數方程兩種方法均可！）

七、圓的引數方程

，為引數；，為引數

八、相關應用

1.若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值範圍是

2.已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由.

提示：或弦長公式. 答案：或

3.已知圓：，點，，設點是圓上的動點，，求的最值及對應的點座標.

4.已知圓：，直線：（）

（1）證明：不論取什麼值，直線與圓均有兩個交點；

（2）求其中弦長最短的直線方程.

5.若直線與曲線恰有乙個公共點，則的取值範圍.

6.已知圓與直線交於，兩點，為座標原點，問：是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

九、圓與圓的位置關係

1.判斷方法：幾何法（為圓心距）：（1）外離（2）外切3）相交（4）內切（5）內含

2.兩圓公共弦所在直線方程

圓：，圓：，

則為兩相交圓公共弦方程.

補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.

3圓系問題

（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）

說明：1）上述圓系不包括；2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）

（2）過直線與圓交點的圓系方程

（3）兩圓公切線的條數問題：相內切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線

十、軌跡方程

（1）定義法（圓的定義）

（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關係，利用這種等量關係，建立起動點座標的關係式…軌跡方程.

例：過圓外一點作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點的軌跡方程.

分析：（3）相關點法（平移轉換法）：一點隨另一點的變動而變動

特點為：主動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.

例1.如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交於，當點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.

分析：角平分線定理和定比分點公式.

例2.已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.

法1：，為定長且等於

設，則取的中點為，

，（1）

，故由（1）得：

法2：（引數法）

設，由，則

設，則，由得：

引數法的本質是將動點座標中的和都用第三個變數（即引數）表示，通過消參得到動點軌跡方程，通過引數的範圍得出，的範圍.

（4）求軌跡方程常用到得知識

重心，中點，

內角平分線定理：

定比分點公式：，則，

韋達定理.

高中數學圓的方程典型例題

型別一：圓的方程

例1 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程並判斷點與圓的關係．

圓的方程為；點在圓外．

例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．

圓的方程為，或．

例3 求經過點，且與直線和都相切的圓的方程．

分析：欲確定圓的方程．需確定圓心座標與半徑，由於所求圓過定點，故只需確定圓心座標．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．

解：∵圓和直線與相切，

∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，

又圓心到兩直線和的距離相等．

∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．

又∵圓過點，

∴圓心只能在直線上．

設圓心∵到直線的距離等於，

∴．化簡整理得．

解得：或

∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．

∴所求圓的方程為或．

說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心座標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規求法．

例4、設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．

分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心座標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心座標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程．

解法一：設圓心為，半徑為．

則到軸、軸的距離分別為和．

由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．

∴又圓截軸所得弦長為2．

∴．又∵到直線的距離為

∴當且僅當時取「=」號，此時．

這時有∴或

又故所求圓的方程為或

解法二：同解法一，得．∴．

∴．將代入上式得：

．上述方程有實根，故，∴．

將代入方程得．

又　　∴．

由知、同號．

故所求圓的方程為或．

說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？

型別二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程

例5　已知圓，求過點與圓相切的切線．

解：∵點不在圓上，

∴切線的直線方程可設為

根據解得所以即

因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．

說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解．

本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等於0解決（也要注意漏解）．還可以運用，求出切點座標、的值來解決，此時沒有漏解．

例6 兩圓與相交於、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程．

分析：首先求、兩點的座標，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點座標的過程太繁．為了避免求交點，可以採用「設而不求」的技巧．

解：設兩圓、的任一交點座標為，則有：

①②①－②得：．

∵、的座標滿足方程．

∴方程是過、兩點的直線方程．

又過、兩點的直線是唯一的．

∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．

說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的座標，雖然設出了它們的座標，但並沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標．從解題的角度上說，這是一種「設而不求」的技巧，從知識內容的角度上說，還體現了對曲線與方程的關係的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質認識．它的應用很廣泛．

例7、過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、，求直線的方程。

練習：1．求過點，且與圓相切的直線的方程．

解：設切線方程為，即，

∵圓心到切線的距離等於半徑，

∴，解得，

∴切線方程為，即，

當過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等於半徑，

故直線也適合題意。

所以，所求的直線的方程是或．

2、過座標原點且與圓相切的直線的方程為

解：設直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或.

3、已知直線與圓相切，則的值為 .

解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.

型別三：弦長、弧問題

例8、求直線被圓截得的弦的長.

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