以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①ab是直徑 ②ab⊥cd ③ce=de
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙o中，∵ab∥cd
五圓心角定理
六圓周角定理
圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半
即：∵∠aob和∠acb是所對的圓心角和圓周角
∴∠aob=2∠acb
圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧
即：在⊙o中，∵∠c、∠d都是所對的圓周角
c=∠d
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑
即：在⊙o中，∵ab是直徑或∵∠c=90°
c=90ab是直徑
推論3：三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
即：在△abc中，∵oc=oa=ob
abc是直角三角形或∠c=90°
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
七圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙o中，∵四邊形abcd是內接四邊形
c+∠bad=180° b+∠d=180°
dae=∠c
八切線的性質與判定定理
（1）判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵mn⊥oa且mn過半徑oa外端
mn是⊙o的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最後乙個條件
mn是切線
mn⊥oa
切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵pa、pb是的兩條切線
∴pa=pb
po平分∠bpa
九圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙o中 △abc是正三角形，有關計算在rt△bod中進行，od:bd:ob=
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在rt△oae中進行，oe:ae:oa=
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在rt△oab中進行，ab:ob:oa=
十、圓的有關概念
1、三角形的外接圓、外心。 →用到：線段的垂直平分線及性質
2、三角形的內切圓、內心。 →用到：角的平分線及性質
3、圓的對稱性。→ [\\begin軸對稱\\\\ 中心對稱\\\\ \\end\\end\\right.', 'altimg':
'b7f710ab4077c3872529024fa9a80abb.png', 'w': '97', 'h':
'78'}]
十一、圓的有關線的長和面積。
1、圓的周長、弧長
c=2r, l=
2、圓的面積、扇形面積、圓錐的側面積和全面積
s圓=r2 ，
s扇形=[lr', 'altimg': '67f46939eaa51b8a8e5cf8c3935dc769.png', 'w':
'35', 'h': '43s圓錐= [l_', 'altimg': '6a519a8fe9208aab812e98e036c89215.
png', 'w': '104', 'h': '24'}] [^', 'altimg':
'bbaf256ef96baf0811d28c122c25711e.png', 'w': '83', 'h':
'28'}]
3、求面積的方法
直接法→由面積公式直接得到
間接法→即：割補法（和差法）→進行等量代換 十
二、側面展開圖：
①圓柱側面展開圖是形,它的長是底面的 ,高是這個圓柱的 ；
②圓錐側面展開圖是形，它的半徑是這個圓錐的 ，它的弧長是這個圓錐的底面的 。
十三、正多邊形計算的解題思路：
正多邊形[\\longrightarrow}', 'altimg': '1781d51a963281b6a43a63748bdadef4.png', 'w':
'68', 'h': '50'}]等腰三角形[\\longrightarrow}', 'altimg': '090e1a2aa66f02cc4c95640655c3dcc3.
png', 'w': '84', 'h': '50'}]直角三角形。
可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識進行求解。
1．下面所給幾何體的俯檢視是（ ）
2．若右圖是某個幾何體的三檢視，則該幾何體是( )
a．長方體
b．三稜柱
c．圓柱
d．圓台
3．如圖，已知圓錐側面展開圖的扇形面積為65cm2，扇形的弧長為10cm，則圓錐母線長是( )
a．5cmb．10cm
c．12cmd．13cm
4．如圖，在△abc中，ab = ac，ab = 8，bc = 12，分別以
ab、ac為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）
a．[', 'altimg': '0e07e53907cb630666d8cb1f7816eab8.png', 'w': '102', 'h': '29b．
c．[', 'altimg': '08464ad4c57457d673c7c0803de11702.png', 'w':
'102', 'h': '29d．[', 'altimg': '0a40991a87bb21275a401de402cb7345.
png', 'w': '102', 'h': '29'}]
5．半徑為r的圓內接正三角形的邊長為結果可保留根號）
6.下列結論正確的是
a、長度相等的兩條弧是等弧
b、相等的圓心角所對的弧相等
c、圓是軸對稱圖形
d、平分弦的直線垂直於弦
7、如圖2，⊙o的弦ab垂直於直徑mn，c為垂足，
若oa=5cm，下面四個結論中可能正確的是（ ）
a、ab=12cmb、oc=6cm
c、mn=8cmd、ac=2.5cm
8、下列命題正確的個數
①三角形的內心一定在三角形的內部，外心在三角形的外部
②三角形的內心是三角形三邊中垂線的交點，所以它到三角形三個頂點的距離相等
③三角形的內心是三角形三個內角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等
④等邊三角形的內心和外心是同乙個點
a、1個 b、2個c、3個d、4個
9．(8分)如圖，ab是⊙o的直徑，點c在ab的延長線上，cd切⊙o於點d，過點d作df⊥ab於點e，交⊙o於點f，已知oe＝1cm，df＝4cm．
(1)求⊙o的半徑；
(2)求切線cd的長
10、等腰直角三角形abc的腰長為5，d是斜邊上ab的中點，則以d為圓心
為半徑的圓經過a、b、c；以d為圓心，2.5為半徑的圓與直線相切,當半徑為
時，⊙o與ac、bc、ab都相交；當半徑為時，⊙o與ac、bc、ab都相切。
11、在⊙o的直徑cb的延長線上取一點a，ap切⊙o於p，且∠apb=300，ab=[', 'altimg': '91a24814efa2661939c57367281c819c.png', 'w':
'27', 'h': '29'}]
則cp12、在rt△abc中，∠c=900，ac=3，bc=4，若以c為圓心，r為半徑的圓與斜邊ab
只有乙個公共交點，則r的取值範圍是
13．如圖24—a—5，p為⊙o外一點，pa、pb分別切⊙o於a、b，cd切⊙o於點e，分別交pa、pb於點c、d，若pa=5，則△pcd的周長為（ ）
a．5 b．7 c．8 d．10
14．已知在△abc中，ab=ac=13，bc=10，那麼△abc的內切圓的半徑為（ ）
a．[', 'altimg': 'bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.png', 'w':
'28', 'h': '43'}] b．[', 'altimg': 'e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.
png', 'w': '27', 'h': '43'}] c．2 d．3
15．如圖24—a—9，ab、ac與⊙o相切於點b、c，∠a=50゜，p為⊙o上異於b、c的乙個動點，則∠bpc的度數為 。
16．乙個圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側面積是
17．如圖24—a—13，ad、bc是⊙o的兩條弦，且ad=bc，
求證：ab=cd。
18．如圖24—b—2，若等邊△a1b1c1內接於等邊△abc的內切圓，則[b_}', 'altimg': '02b671f540ca218516906f32e3ce6cb7.png', 'w':
'47', 'h': '46'}]的值為（ ）
a．[', 'altimg': '93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png', 'w':
'16', 'h': '43'}] b．[}', 'altimg': 'a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.
png', 'w': '28', 'h': '52'}] c．[', 'altimg':
'7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png', 'w': '16', 'h':
'43'}] d．[}', 'altimg': '227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png', 'w':
'29', 'h': '52'}]
19．若正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，它們的面積分別是s1、s2、s3，則下列關係成立的是（ ）
a．s1=s2=s3 b．s1>s2>s3 c．s1s3>s1
20．如圖24—b—14，在⊙o中，直徑cd與弦ab相交於點e，若be=3，ae=4，de=2，則⊙o的半徑是 。
21．（2005·濰坊）如圖24—b—15，正方形abcd的邊長為1，點e為ab的中點，以e為圓心，1為半徑作圓，分別交ad、bc於m、n兩點，與dc切於點p，則圖中陰影部分的面積是 。
22．如圖24—b—18，在⊙o中，ab是直徑，cd是弦，ab⊥cd。
（1）p是優弧cad上一點（不與c、d重合），求證：∠cpd=∠cob；
（2）點p′在劣弧cd上（不與c、d重合）時，∠cp′d與∠cob有什麼數量關係？請證明你的結論。
23．已知：△abc內接於⊙o，過點a作直線ef。
（1）如圖24—a—15，ab為直徑，要使ef為⊙o的切線，還需新增的條件是（只需寫出三種情況）：
（2）如圖24—a—16，ab是非直徑的弦，∠cae=∠b，求證：ef是⊙o的切線。
24．如圖，以rt△abc的直角邊ab為直徑的半圓o，與斜邊ac交於d，e是bc邊上的中點，鏈結de.
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