圓的總結
圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性質定理與判定定理及公式。
一集合：
圓：圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
二軌跡：
1、到定點的距離等於定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；
2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；
3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線
三位置關係：
1點與圓的位置關係:
點在圓內 d點在圓上 d=r 點b在圓上
點在此圓外 d>r 點a在圓外
2 直線與圓的位置關係:
直線與圓相離 d>r 無交點
直線與圓相切 d=r 有乙個交點
直線與圓相交 d3 圓與圓的位置關係:
外離（圖1） 無交點d>r+r
外切（圖2） 有乙個交點 d=r+r
相交（圖3） 有兩個交點 r-r內切（圖4） 有乙個交點 d=r-r
內含（圖5） 無交點d四垂徑定理:
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①ab是直徑 ②ab⊥cd ③ce=de
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙o中，∵ab∥cd
五圓心角定理
六圓周角定理
圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半
即：∵∠aob和∠acb是所對的圓心角和圓周角
∴∠aob=2∠acb
圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧
即：在⊙o中，∵∠c、∠d都是所對的圓周角
c=∠d
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑
即：在⊙o中，∵ab是直徑或∵∠c=90°
c=90ab是直徑
推論3：三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
即：在△abc中，∵oc=oa=ob
abc是直角三角形或∠c=90°
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
七圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙o中，∵四邊形abcd是內接四邊形
c+∠bad=180° b+∠d=180°
dae=∠c
八切線的性質與判定定理
（1）判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵mn⊥oa且mn過半徑oa外端
mn是⊙o的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最後乙個條件
mn是切線
mn⊥oa
切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵pa、pb是的兩條切線
∴pa=pb
po平分∠bpa
九圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙o中 △abc是正三角形，有關計算在rt△bod中進行，od:bd:ob=
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在rt△oae中進行，oe:ae:oa=
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在rt△oab中進行，ab:ob:oa=
十、圓的有關概念
1、三角形的外接圓、外心。 →用到：線段的垂直平分線及性質
2、三角形的內切圓、內心。 →用到：角的平分線及性質
3、圓的對稱性。→
十一、圓的有關線的長和面積。
1、圓的周長、弧長
c=2r, l=
2、圓的面積、扇形面積、圓錐的側面積和全面積
s圓=r2 ，
s扇形s圓錐=
3、求面積的方法
直接法→由面積公式直接得到
間接法→即：割補法（和差法）→進行等量代換 十
二、側面展開圖：
①圓柱側面展開圖是形,它的長是底面的 ,高是這個圓柱的 ；
②圓錐側面展開圖是形，它的半徑是這個圓錐的 ，它的弧長是這個圓錐的底面的 。
十三、正多邊形計算的解題思路：
正多邊形等腰三角形直角三角形。
可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識進行求解。
1．下面所給幾何體的俯檢視是（ ）
2．若右圖是某個幾何體的三檢視，則該幾何體是( )
a．長方體
b．三稜柱
c．圓柱
d．圓台
3．如圖，已知圓錐側面展開圖的扇形面積為65cm2，扇形的弧長為10cm，則圓錐母線長是( )
a．5cmb．10cm
c．12cmd．13cm
4．如圖，在△abc中，ab = ac，ab = 8，bc = 12，分別以
ab、ac為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）
a． b．
c． d．
5．半徑為r的圓內接正三角形的邊長為結果可保留根號）
6.下列結論正確的是
a、長度相等的兩條弧是等弧
b、相等的圓心角所對的弧相等
c、圓是軸對稱圖形
d、平分弦的直線垂直於弦
7、如圖2，⊙o的弦ab垂直於直徑mn，c為垂足，
若oa=5cm，下面四個結論中可能正確的是（ ）
a、ab=12cmb、oc=6cm
c、mn=8cmd、ac=2.5cm
8、下列命題正確的個數
①三角形的內心一定在三角形的內部，外心在三角形的外部
②三角形的內心是三角形三邊中垂線的交點，所以它到三角形三個頂點的距離相等
③三角形的內心是三角形三個內角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等
④等邊三角形的內心和外心是同乙個點
a、1個 b、2個c、3個d、4個
9．(8分)如圖，ab是⊙o的直徑，點c在ab的延長線上，cd切⊙o於點d，過點d作df⊥ab於點e，交⊙o於點f，已知oe＝1cm，df＝4cm．
(1)求⊙o的半徑；
(2)求切線cd的長
10、等腰直角三角形abc的腰長為5，d是斜邊上ab的中點，則以d為圓心
為半徑的圓經過a、b、c；以d為圓心，2.5為半徑的圓與直線相切,當半徑為
時，⊙o與ac、bc、ab都相交；當半徑為時，⊙o與ac、bc、ab都相切。
11、在⊙o的直徑cb的延長線上取一點a，ap切⊙o於p，且∠apb=300，ab=
則cp12、在rt△abc中，∠c=900，ac=3，bc=4，若以c為圓心，r為半徑的圓與斜邊ab
只有乙個公共交點，則r的取值範圍是
13．如圖24—a—5，p為⊙o外一點，pa、pb分別切⊙o於a、b，cd切⊙o於點e，分別交pa、pb於點c、d，若pa=5，則△pcd的周長為（ ）
a．5 b．7 c．8 d．10
14．已知在△abc中，ab=ac=13，bc=10，那麼△abc的內切圓的半徑為（ ）
a． b． c．2 d．3
15．如圖24—a—9，ab、ac與⊙o相切於點b、c，∠a=50゜，p為⊙o上異於b、c的乙個動點，則∠bpc的度數為 。
16．乙個圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側面積是
17．如圖24—a—13，ad、bc是⊙o的兩條弦，且ad=bc，
求證：ab=cd。
18．如圖24—b—2，若等邊△a1b1c1內接於等邊△abc的內切圓，則的值為（ ）
a． b． c． d．
19．若正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，它們的面積分別是s1、s2、s3，則下列關係成立的是（ ）
圓的知識點總結及習題
以上共4個定理，簡稱2推3定理 此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即 ab是直徑 ab cd ce de 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即 在 o中，ab cd 五圓心角定理 六圓周角定理 圓周角定理 同一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半 即 aob和 ac...
初中圓知識點及練習題
垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理的推論 平分弦 不是直徑 的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧 在同一圓內，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對...
圓的知識點總結
一 圓的有關性質 知識歸納 1.圓的有關概念 圓 圓心 半徑 圓的內部 圓的外部 同心圓 等圓 弦 直徑 弦心距 弧 半圓 優弧 劣弧 等弧 弓形 弓形的高 圓的內接三角形 三角形的外接圓 三角形的外心 圓內接多邊形 多邊形的外接圓 圓心角 圓周角 圓內接四邊形的外角。2.圓的對稱性 圓是軸對稱圖形...