圓的知識點總結
（一）圓的有關性質
［知識歸納］
1. 圓的有關概念：
圓、圓心、半徑、圓的內部、圓的外部、同心圓、等圓；
弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圓的內接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內接四邊形的外角。
2. 圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸；
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；
圓具有旋轉不變性。
3. 圓的確定
不在同一條直線上的三點確定乙個圓。
4. 垂直於弦的直徑
垂徑定理垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧；
推論1（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。
垂徑定理及推論1 可理解為乙個圓和一條直線具備下面五個條件中的任意兩個，就可推出另外三個：①過圓心；②垂直於弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係
定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；所對的弦的弦心距相等。
推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個條件中的任何乙個就能推出另外三個：①兩個圓心角相等；②兩個圓心角所對的弧相等；③兩個圓心角或兩條弧所對的弦相等；④兩條弦的弦心距相等。
圓心角的度數等於它所對的弧的度數。
6. 圓周角
定理一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等；
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；
推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
7. 圓內接四邊形的性質
圓內接四邊形的對角互補，並且任何乙個外角都等於它的內對角。
※8. 軌跡
軌跡符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡。
（1）平面內，到一定點的距離等於定長的點的軌跡，是以這個定點為圓心，定長為半徑的圓；
（2）平面內，和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；
（3）平面內，到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線。
［例題分析］
例1. 已知：如圖1，在⊙o中，半徑om⊥弦ab於點n。
圖1 ①若ab＝，on＝1，求mn的長；
②若半徑om＝r，∠aob＝120°，求mn的長。
解：①∵ab＝，半徑om⊥ab， ∴an＝bn＝
∵on＝1，由勾股定理得oa＝2
∴mn＝om－on＝oa－on＝1
②∵半徑om⊥ab，且∠aob＝120° ∴∠aom＝60°
∵on＝oa·cos∠aon＝om·cos60°＝
∴說明：如圖1，一般地，若∠aob＝2n°，om⊥ab於n，ao＝r，on＝h，則ab＝2rsin n°＝2htan n°＝
例2. 已知：如圖2，在△abc中，∠acb＝90°，∠b＝25°，以點c為圓心、ac為半徑作⊙c，交ab於點d，求的度數。
圖2分析：因為弧與垂徑定理有關；與圓心角、圓周角有關；與弦、弦心距有關；弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關係，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考。
解法一：（用垂徑定理求）如圖2－1，過點c作ce⊥ab於點e，交於點f。
圖2－1
∴ 又∵∠acb＝90°，∠b＝25°，∴∠fca＝25°
∴的度數為25°，∴的度數為50°。
解法二：（用圓周角求）如圖2－2，延長ac交⊙c於點e，鏈結ed
圖2－2
∵ae是直徑，∴∠ade＝90°
∵∠acb＝90°，∠b＝25°，∴∠e＝∠b＝25°
∴的度數為50°。
解法三：（用圓心角求）如圖2－3，鏈結cd
圖2－3
∵∠acb＝90°，∠b＝25°，∴∠a＝65°
∵ca＝cd，∴∠adc＝∠a＝65°
∴∠acd＝50°，∴的度數為50°。
例3. 已知：如圖3，△abc內接於⊙o且ab＝ac，⊙o的半徑等於6cm，o點到bc的距離od等於2cm，求ab的長。
析：因為不知道∠a是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進行討論。
略解：（1）假若∠a是銳角，△abc是銳角三角形。如圖3，由ab＝ac，可知點a是優弧的中點，因為od⊥bc且ab＝ac，根據垂徑定理推論可知，do的延長線必過點a，鏈結bo
∵bo＝6，od＝2
∴ 在rt△adb中，ad＝do＋ao＝6＋2＝8
∴ 圖3圖3－1
（2）若∠a是鈍角，則△abc是鈍角三角形，如圖3－1新增輔助線及求出，在rt△adb中，ad＝ao－do＝6－2＝4
∴ab綜上所述ab＝
小結：凡是與三角形外接圓有關的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關係，防止丟解或多解。
例4. 已知：如圖4，ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab，f是cd延長線上一點，af交⊙o於e。求證：ae·ef＝ec·ed
圖4分析：求證的等積式ae·ef＝ec·ed中，有兩條線段ef、ed在△edf中，另兩條線段ae、ec沒有在同一三角形中，欲將其置於三角形中，只要新增輔助線ac，設法證明△fed∽△cea即可。
證明：鏈結ac
∵四邊形deac內接於圓
∴∠fde＝∠cae，∠fed＝∠dca
∵直徑ab⊥cd，∴
∴∠dca＝∠cea，∴∠fed＝∠cea
∴△fed∽△cea
∴，∴ae·ef＝ec·ed
小結：四邊形內接於圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時，千萬不要忽略這一重要條件。
例5. 已知：如圖5，am是⊙o的直徑，過⊙o上一點b作bn⊥am，垂足為n，其延長線交⊙o於點c，弦cd交am於點e。
圖5（1）如果cd⊥ab，求證：en＝nm；
（2）如果弦cd交ab於點f，且cd＝ab，求證ce2＝ef·ed；
（3）如果弦cd繞點c旋轉，並且與ab的延長線交於點f，且cd＝ab，那麼（2）的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
證明：（1）鏈結bm（如圖5－1）
圖5－1
∵am是直徑，∴∠abm＝90°
∵cd⊥ab，∴bm∥cd
∴∠e**＝∠mbn，又am⊥bc，∴**＝bn
∴rt△cen≌rt△bmn，∴en＝nm
（2）鏈結bd，be，ac（如圖5－2）
圖5－2
∵點e是bc垂直平分線am上一點，∴be＝ec
∵cd＝ab，∴
∴∠acd＝∠bdc，又ab＝ac，ae＝ae
∴△abe≌△ace，∴∠abe＝∠acd＝∠bdc
∵∠bed是公共角，∴△bed∽△feb
∴be2＝ef·ed，∴ce2＝ef·ed
（3）結論成立。如圖5－3
圖5－3
證明：仿（2）可證△abe≌△ace
∴be＝ce，且∠abe＝∠ace
又∵ab＝cd，∴
∴∠acb＝∠dbc，∴bd∥ac
∴∠bde＋∠ace＝180°
而∠fbe＋∠abe＝180°
∴∠bde＝∠fbe，而∠bed是公共角
∴△bed∽△feb
∴be2＝ef·ed，∴ce2＝ef·ed
（二）直線與圓的關係
1. 直線與圓的位置關係
2. 切線的判定
經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
3. 切線的性質
（1）圓的切線垂直於經過切點的半徑；
（2）推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點；
（3）推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
此定理及推論可理解為以下三個條件中任知其中兩個就可推出第三個：①垂直於切線；②經過切點；③經過圓心。
4. 切線長定理
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
5. 弦切角定理
（1）弦切角等於它所夾的弧對的圓周角；
（2）推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等；
（3）弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。
6. 和圓有關的比例線段
（1）相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；
（2）推論如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項；
（3）切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；
（4）推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
7. 三角形的內切圓
圓的知識點總結及典型例題
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