集合：圓：圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡：1、到定點的距離等於定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；
2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；
3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線
點與圓的位置關係:
點在圓內 d點在圓上 d=r 點b在圓上
點在此圓外 d>r 點a在圓外
直線與圓的位置關係:
直線與圓相離 d>r 無交點
直線與圓相切 d=r 有乙個交點
直線與圓相交 d圓與圓的位置關係:
外離（圖1） 無交點d>r+r
外切（圖2） 有乙個交點 d=r+r
相交（圖3） 有兩個交點 r-r內切（圖4） 有乙個交點 d=r-r
內含（圖5） 無交點d垂徑定理:
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①ab是直徑 ②ab⊥cd ③ce=de
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙o中，∵ab∥cd
圓心角定理
圓周角定理
圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半
即：∵∠aob和∠acb是所對的圓心角和圓周角
∴∠aob=2∠acb
圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧
即：在⊙o中，∵∠c、∠d都是所對的圓周角
c=∠d
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑
即：在⊙o中，∵ab是直徑或∵∠c=90°
c=90ab是直徑
推論3：三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
即：在△abc中，∵oc=oa=ob
abc是直角三角形或∠c=90°
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
弦切角定理: 弦切角等於所夾弧所對的圓周角
推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等。
即：∵mn是切線，ab是弦
∴∠bam=∠bca
圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙o中，∵四邊形abcd是內接四邊形
c+∠bad=180° b+∠d=180°
dae=∠c
切線的性質與判定定理
（1）判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵mn⊥oa且mn過半徑oa外端
mn是⊙o的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最後乙個條件
mn是切線
mn⊥oa
切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵pa、pb是的兩條切線
∴pa=pb
po平分∠bpa
圓內相交弦定理及其推論：
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等
即：在⊙o中，∵弦ab、cd相交於點p
pa·pb=pc·pa
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙o中，∵直徑ab⊥cd
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
即：在⊙o中，∵pa是切線，pb是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）
即：在⊙o中，∵pb、pe是割線
圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦
即：∵⊙o1、⊙o2相交於a、b兩點
o1o2垂直平分ab
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：在rt△o1o2c中，
（2）外公切線長：co2是半徑之差；
內公切線長：co2是半徑之和
圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙o中 △abc是正三角形，有關計算在rt△bod中進行，od:bd:ob=
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在rt△oae中進行，oe:ae:oa=
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在rt△oab中進行，ab:ob:oa=
弧長、扇形面積公式
（1）弧長公式：
（2）扇形面積公式：
總結歸納：《 圓》的知識考點
圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性質定理與判定定理及公式。
一、圓的有關概念
1、圓。→封閉曲線圍成的圖形
2、弦、直徑、切線。→直線
3、弧、半圓。 →曲線
4、圓心角、圓周角。
5、三角形的外接圓、外心。 →用到：線段的垂直平分線及性質
6、三角形的內切圓、內心。 →用到：角的平分線及性質
二、圓的有關性質（涉及線段相等、角相等，求線、角）
1、圓的對稱性。→
2、垂徑定理及其推論。
3、弧、弦、圓心角之間的關係定理
4、圓周角定理及推論。→同圓、等圓，同弧、等弧，圓周角
5、切線的性質定理。
6、切線長定理。
三、判定定理
切線的判定→兩種思路：①連半徑，證垂直；②作垂直，證半徑
四、點、直線、圓與圓的位置關係
1、點與圓的位置關係
2、直線與圓的位置關係：
3、圓與圓的位置關係：
五、正多邊形和圓
1、有關概念
正多邊形的中心、半徑、中心角及其度數、邊心距
2、方法思路：構造等腰（等邊）三角形、直角三角形，在三角形中求線、角、面積。
六、圓的有關線的長和面積。
1、圓的周長、弧長
c=2r, l=
2、圓的面積、扇形面積、圓錐的側面積和全面積
s圓=r2 ，
s扇形= ，或 s扇形= （即s扇形==）
s圓錐=
3、求面積的方法
直接法→由面積公式直接得到
間接法→即：割補法（和差法）→進行等量代換
與圓有關的計算
一、周長：設圓的周長為c，半徑為r,扇形的弧長為l,扇形的圓心角為n.
1 圓的周長：c＝２πr；②扇形的弧長：。
例題1．(05崇文練習一）某小區建有如圖所示的綠地，圖中4個半圓，鄰近的兩個半圓相切。兩位老人同時出發，以相同的速度由a處到b處散步，甲老人沿的線路行走，乙老人沿的線路行走，則下列結論正確的是( )
（a）甲老人先到達b處 （b）乙老人先到達b處（c）甲、乙兩老人同時到達b處（d）無法確定
例題2．如圖，△abc是正三角形，曲線cdef…叫做正三角形的「漸開線」，其中、、…的圓心依次按a、b、c迴圈，將它們依次平滑相連線。如果ab=1，試求曲線cdef的長。
圓的知識點總結
一 圓的有關性質 知識歸納 1.圓的有關概念 圓 圓心 半徑 圓的內部 圓的外部 同心圓 等圓 弦 直徑 弦心距 弧 半圓 優弧 劣弧 等弧 弓形 弓形的高 圓的內接三角形 三角形的外接圓 三角形的外心 圓內接多邊形 多邊形的外接圓 圓心角 圓周角 圓內接四邊形的外角。2.圓的對稱性 圓是軸對稱圖形...
圓知識點總結
定義 1 平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。2 平面上一條線段，繞它的一端旋轉360 留下的軌跡叫圓。圓心 1 如定義 1 中，該定點為圓心 2 如定義 2 中，繞的那一端的端點為圓心。3 圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。4 垂直於圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。...
圓知識點總結
圓1.圓的兩個要素 圓心 半徑。2.性質 1 圓上各點到定點的距離都等於半徑 到定點的距離都等於半徑 圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形 2 切線的性質 圓的切線垂直於過切點的半徑。3 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角，90 的圓周角所對的弦是直徑。4 不在同一直線上的三個點確定乙個圓。3.定義 頂...