一、圓的標準方程
1．；2．．
二、圓的一般方程
1．圓的一般方程：
，圓心，半徑．
2．討論二元一次方程所表示的圖形
（1）當時，方程表示的曲線為圓．
事實上，．
∵，∴方程表示圓，圓心，半徑．
（2）當時，方程表示點．
（3）當時，方程不表示任何圖形．
三、圓的方程的確定
1．方法待定係數法
2．條件個數三個獨立條件，布列關於、、（或、、，此處後面介紹）的方程組．
四、直線與圓的位置關係
1．直線與圓有三種位置關係
（1）直線與圓相交當且僅當線、圓有兩個公共點；
（2）直線與圓相切當且僅當線、圓只有乙個公共點；
（3）直線與圓相離當且僅當線、圓沒有公共點．
2．直線與圓的位置關係的判定
（1）幾何法
設圓的半徑為，線心距為，則
①線、圓相交；②線、圓相切；③線、圓相離．
（2）代數法
將線、圓方程聯立，消去乙個未知數（如），得到關於的一元二次方程，設其判別式為，則
①線、圓相交；②線、圓相切；③線、圓相離．
五、圓中弦長問題
1．利用垂徑定理求解
2．利用弦長公式求解，或．
事實上，．
．注：圓中利用第一種解法較簡單，第二種解法運算量較大，但在今後學習橢圓、圓錐曲線、拋物線時，解決弦長問題只能利用弦長公式來求．
六、圓的切線問題
1．基本問題
（1）求過定點的圓的切線方程；
（2）給出切線斜率，求切線方程（兩條）；
（3）過圓外一點引圓的兩條切線，求過兩切點的直線方程．
2．求過定點的圓的切線方程
求過定點的圓的切線方程時，首先要判斷定點在圓上還是在圓外；若用切線的點斜式方程，不要忽略斜率不存在的情況．
（1）已知切點座標，求切線方程
①一般解法：
若切線斜率存在，則先求切點與圓心連線的斜率，再由垂直關係知切線斜率為，進而由直線的點斜式方程可求得切線方程．
若切線斜率不存在，則由圖形直接寫出切線方程.
②直接利用下面結論寫出切線方程（僅適合於小題）：
結論1：以圓上點為切點的切線方程為；
事實上，當切線斜率存在時，切線斜率為，切線方程就是，整理得，因點在圓上， ∴，故切線方程為．
當切線斜率不存在時，方程為．
另一方面，當切線斜率不存在時，切點為，從而方程變為，即，因此方程包含．
結論2：以圓上點為切點的切線方程為
；事實上，當切線斜率存在時，切線斜率為，切線方程就是，整理得
因點在圓上， ∴，故切線方程為．
當切線斜率不存在時，方程為．
另一方面，當切線斜率不存在時，切點為，從而方程變為，即，因此方程包含．
（2）過圓外已知點引圓的兩條切線，求切線方程
①幾何方法（待定係數法）
當切線斜率存在時，設為，切線方程為，即，由圓心到直線的距離等於半徑，求出．
如果值有兩個，則全部得出兩條切線方程；如果求出只有乙個值，則說明另一條切線一定垂直於軸，這時，該切線方程應由圖形直接寫出．
②代數方法（待定係數法）
設切線方程為，即，代入圓的方程，得到乙個關於的一元二次方程，由，求出值．
如果值有兩個，則全部得出兩條切線方程；如果求出只有乙個值，則說明另一條切線一定垂直於軸，這時，該切線方程應由圖形直接寫出．
3．給出切線斜率，求切線方程（兩條）
4．過圓外一點引圓的兩條切線，求過兩切點的直線方程
結論1：過圓外一點，引圓的兩條切線，，則過兩切點，的直線方程為．
事實上，設切點，，則切線，．∵，∴
等式①和②說明，直線過，兩點，故所求直線方程為．
注：此結論有其它證法，從略．
結論2：過圓外一點，引圓的兩條切線，，則過兩切點，的直線方程為．
七、圓與圓的位置關係
1．圓與圓的五種位置關係
外離、外切、相交、內切、內含
2．五種位置關係的判定
（1）幾何法：
1）由、、關係判定，結論是：
①外離；②外切；③相交；
④內切；⑤內含．
2）由兩圓公切線條數判定，結論是：
①4條外離；②3條外切；③2條相交；④1條內切；⑤0條內含．
（2）代數法：聯立兩圓方程，得方程組則
方程組有兩解相交；方程組有一解相切（內切或外切）；方程組無解相離（外離或內含）．
3．兩種方法的優缺點
（1）幾何方法：
優點：直觀，容易理解．
缺點：不能求出交點座標．
（2）代數方法：
缺點：不能準確的判斷位置關係(當兩圓只有乙個交點時不能判斷內切還是外切，無交點時不能判斷內含還是外離)．
優點：可以求出公共點座標.
八、相交兩圓公共弦（所在直線）方程及弦長計算
1．設相交兩圓的方程為：與，
則公共弦的方程為：．
九、圓系方程
我們把具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系．
常見的圓系有如下幾種：
1．以點為圓心的同心圓系方程 ．
與圓同心的圓系方程 ．
2．過直線與圓交點的圓系方程
3．過兩圓，交點的圓系方程
，此圓系不含．
特例1 當時，方程變為，無論兩圓、是否有公共點，上述方程表示的直線始終叫做兩圓的根軸．當兩圓相交時，根軸方程即為兩圓公共弦方程；兩圓相切時，根軸方程即為兩圓公切線方程．
特例2 當圓縮為上的乙個點時，方程為
表示與圓切於點的圓系方程．
十、求兩圓公切線長
構造直角三角形．
a．求圓的方程
例1 求下列圓的標準方程
（1）圓心，且過點．
（2）圓心在軸上，半徑為5，且過點．
（3）過點和直線相切，並且圓心在直線上．
結果：（1）；（2）或；（3）或．
練習 2-1,2-2，練習題1～8.
1．求過點、，且圓心在直線上的圓的方程．
結果：．
2．求適合下列條件的圓的標準方程：
（1）經過兩點，，且圓心在軸上；
（2）圓心在軸上，半徑為5，且過點．
結果：（1）；（2）或．
例2 已知點和．
（1）求以為直徑的圓的方程；
（2）試判斷點、、與圓的位置關係．
結果：（1）；（2）點在圓上；點在圓外；點在圓內．
練習1．過已知點向圓引切線，若能引
①0條；②1條；③2條切線．分別求的取值範圍．
結果：①；②或；③或．
2．已知圓的標準方程為，若點在圓內，點在圓外，求半徑的取值範圍． 結果：．
b．判定二元二次方程是否表示圓
例2 下列方程能否表示圓？若能表示，求出圓心和半徑．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
結果：（1）、（2）、（3）均不表示圓，（4）表示圓，圓心，半徑．
練習：已知方程，當取何值或在何範圍內取值時，該方程：
①表示圓；②表示點；③不表示任何圖形？
結果：（1）或．（2）或．（3）．
c．直線與圓的位置關係
例1 已知直線方程，圓的方程．當為何值時，圓與直線
（1）有兩個公共點；（2）只有乙個公共點；（3）沒有公共點．
結果：（1）或．（2）或．（3）．
練習1．已知圓，直線，試判斷直線與圓的位置關係．
結果：相交．
2．為何值時，直線與圓相離？
結果：．
例2 已知直線經過點，被圓截得弦長為，求的方程．
結果：或．
練習求直線被圓截得的弦長．結果：．
例3 自點發出的光線射到軸上點處，被軸反射，其反射光線所在直線與圓相切於點．求光線所在直線方程．
結果：或．
練習1．已知圓．
（1）求過點的圓的切線方程；（2）求截距相等的圓的切線的方程．
結果：（1）或．（2）或或．
2．已知一圓的圓心為，且該圓截直線所得弦的長為，求該圓的方程及過弦的兩端點的切線方程．
結果：．和．
d．圓與圓的位置關係
例已知圓，，判斷兩圓位置關係．
解：，，，，，，．
∵，即；又，即．
∴兩圓相交．
變式1 已知圓，，為何值時（1）圓與外切；（2）圓與內含．
解：，，．
（1）如果圓與外切，則有．即，，解得或．
∴當或時，圓與外切．
（2）如果圓與內含，則有．即，，解得．
∴當時，圓與內含．
變式題2 已知圓與圓相切，求的值．
結果：．
e．相交兩圓公共弦（所在直線）方程及弦長計算
例1 判斷下列兩圓的位置關係，如果兩圓相交，請求出公共弦的方程．
（1）與；
（2）與．
解：（1）根據題意，得兩圓的半徑分別為和，兩圓的圓心距．
因為，所以兩圓外切．
（2）將兩圓的方程化為標準方程，得，．
故兩圓的半徑分別為和，
兩圓的圓心距．
因為，所以兩圓相交．
變式題求以圓和圓公共弦為直徑的圓的方程．
解：相減得公共弦
所在直線方程為，再由
聯立得兩交點座標、．∵所求圓以
為直徑，∴圓心是的中心點，圓的半徑為．於是圓的方程為．
方法二：設所求圓（為引數），得圓心，
∵圓心在公共弦所在直線上，∴，解得．故所求圓的方程．
以題帶知識—相交圓系方程
經過兩相交圓與交點的圓系方程為：
（為引數）．
練習1．已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
活動：學生審題，思考並交流，**解題的思路，教師及時提示引導，因兩圓的交點座標同時滿足兩個圓方程，聯立方程組，消去項、項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長．
解：設兩圓交點為、，則、兩點座標滿足方程組
①-②，得．
因為、兩點座標都滿足此方程，所以即為兩圓公共弦所在的直線方程．
易知圓的圓心，半徑．
又點到直線的距離為．
所以，即兩圓的公共弦長為．
2．已知圓和圓相交於、兩點，求公共弦的長．
解法一：由兩圓的方程相減，消去二次項得到乙個二元一次方程，此方程即為公共弦所在的直線方程，．
由，解得或
所以兩點的座標分別是、．
故．解法二：同解法一，先求出公共弦所在直線的方程：．
過作於．
圓的圓心，半徑，則．
所以．3．圓與圓相交於，兩點，求直線的方程及公共弦的長答案：；6．
f．求方程、求最值、求公切線長
例1 已知圓與圓+y2+外切，並與直線切於點，求此圓的方程．
解：設所求圓的圓心為，半徑長為．因為在過點且與垂直的直線上，
所以 ①．
又因為圓與相切於點，所以 ②．
因為圓與圓相外切，所以 ③．
由①得，將其代入③得，解得或
此時或，所以所求圓的方程為，或．
例2 已知實數、滿足方程．
（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
解：（1）原方程化為，表示以點為圓心，以為半徑的圓．
設，即．當直線與圓相切時，斜率取得最大值和最小值，此時，解得．
故的最大值為，最小值為．
（2）設，即．當直線與圓相切時，縱截距取得最大值和最小值，此時，解得．
圓與方程知識點小結
圓與方程 2 1圓的標準方程 以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.特例 圓心在座標原點，半徑為的圓的方程是 2 2點與圓的位置關係 1.設點到圓心的距離為d，圓半徑為r 1 點在圓上 d r 2 點在圓外 d r 3 點在圓內 d r 2.給定點及圓.在圓內 在圓上 在圓外 2 3 圓的一般方程 當...
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圓的知識點總結
一 圓的有關性質 知識歸納 1.圓的有關概念 圓 圓心 半徑 圓的內部 圓的外部 同心圓 等圓 弦 直徑 弦心距 弧 半圓 優弧 劣弧 等弧 弓形 弓形的高 圓的內接三角形 三角形的外接圓 三角形的外心 圓內接多邊形 多邊形的外接圓 圓心角 圓周角 圓內接四邊形的外角。2.圓的對稱性 圓是軸對稱圖形...