圓——知識點總結歸納
要點歸納
一．圓的認識
1．圓的定義
（1）在乙個平面內，線段oa繞它的乙個端點o旋轉一周，
另乙個端點a隨之旋轉所形成的圖形叫做圓。固定的端點o
叫做圓心，線段oa叫做半徑，如右圖所示。
（2）圓可以看作是平面內到定點的距離等於定長的點的集
合，定點為圓心，定長為圓的半徑。
說明：圓的位置由圓心確定，圓的大小由半徑確定，半
徑相等的兩個圓為等圓。
2．圓的有關概念
（1）弦：鏈結圓上任意兩點的線段。（如右圖中
的cd）。
（2）直徑：經過圓心的弦（如右圖中的ab）。
直徑等於半徑的2倍。
（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧。（如
右圖中的、）
其中大於半圓的弧叫做優弧，如，小
於半圓的弧叫做劣弧。
（4）圓心角：如右圖中∠cod就是圓心角。
3．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係。
（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等。
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
4．過三點的圓。
（1）定理：不在同一條直線上的三點確定乙個圓。
（2）三角形的外接圓圓心（外心）是三邊垂直平分線的交點。
5．垂徑定理。
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
推論：（1）①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；③平分弦所對的一條弦的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。
（2）圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
6．與圓相關的角
（1）與圓相關的角的定義
①圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角
②圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
③弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。
（2）與圓相關的角的性質
①圓心角的度數等於它所對的弦的度數；
②一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
③同弧或等弧所對的圓周角相等；
④半圓（或直徑）所對的圓周角相等；
⑤弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角；
⑥兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等；
⑦圓的內接四邊形的對角互補，並且任何乙個外角都等於它的內對角。
二．與圓有關的位置關係
1．點與圓的位置關係
如果圓的半徑為r，某一點到圓心的距離為d，那麼：
（1）點在圓外
（2）點在圓上
（3）點在圓內
2．直線和圓的位置關係
設r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離
（1）直線和圓相離，直線與圓沒有交點；
（2）直線和圓相切，直線與圓有唯一交點；
（3）直線和圓相交，直線與圓有兩個交點。
3．圓的切線
（1）定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線，唯一公共點叫做切點。
（2）切線的判定定理
經過半徑的外端且垂於這條半徑的直線是圓的切線。
（3）切線的性質定理及推論
定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論：①經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點；
②經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
4．兩圓的位置關係
設r、r為兩圓的半徑，d為圓心距
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內切；
（5）兩圓內含。（注意：如果為，則兩圓為同心圓。）
5．兩圓連心線的性質
（1）相交兩圓的連心線，垂直平分公共弦，且平分兩條外公切線所夾的角。（注：平分兩外公切線所夾的角，通過角平分線的判定「到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上」，很易證明。）
（2）相切兩圓的連心線必經過切點。
（3）相離兩圓的連心線平分內公切線的夾角和外公切線的夾角。
6．兩圓公切線的性質
（1）如果兩圓有兩條外公切線，則兩外公切線長相等。
（2）如果兩圓有兩條內公切線，則兩內公切線長相等。
7．相交弦定理、切割線定理、切線長定理
（注：r表示⊙o的半徑）
8．與圓有關的比例線段問題的一般思考方法
（1）直接應用相交弦、切割線定理及其推論；
（2）找相似三角形，當證明有關線段的比例式或等積式不能直接運用基本定理推導時，通常是由「三點定形法」證三角形相似，其一般思路為等積式→比例式→中間比→相似三角形。
9．與圓相關的常用輔助線
（1）有弦，可作弦心距；
（2）有直徑，可作直徑所對的圓周角；
（3）有切點，可作過切點的半徑；
（4）兩圓相交，可作公共弦；
（5）兩圓相切，可作公切線；
（6）有半圓，可作整圓。
記憶口訣：有弦可作弦心距，中心圓心相連；兩圓相切公切線，兩圓相交公共弦；遇到切點作半徑，圓與圓心連心；遇到直徑相直角，直角相對點共圓。（注：「心連心」為連心線。）
10．圓外切三角形和四邊形的性質
（1）如右圖，△abc是⊙o的外切三角形，d、e、f為切點，則
同理：直角三角形內切圓半徑。（其中a、b為直角邊，c為斜邊）
（2）圓外切四邊形兩組對邊和相等，即如右圖，四邊形abcd是⊙o的外切四邊形，則 ab+cd＝ad+bc。
三．圓中的計算問題
1．圓的有關計算
（1）圓周長：
（2）弧長：；
（3）圓面積：；
（4）扇形面積：；
（5）弓形面積：
2．圓柱
圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的長等於圓柱的底面周長c，寬是圓柱的母線長l，如果圓柱的底面半徑是r，則。
3．圓錐
圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面周長c，半徑等於圓錐母線長l，若圓錐的底面半徑為r，這個扇形的圓心角為，則，。
初三數學圓知識點總結
圓心角 頂點在圓心的角叫做圓心角 圓周角 頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。弦切角 頂點在圓上，一邊和圓相交，另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。2 與圓相關的角的性質 圓心角的度數等於它所對的弦的度數 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半 同弧或等弧所對的圓周角相等 半圓 或直徑 所對的...
初三數學圓知識點總結
圓 知識點總結歸納 要點歸納 一 圓的認識 1 圓的定義 1 在乙個平面內，線段oa繞它的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a隨之旋轉所形成的圖形叫做圓。固定的端點o叫做圓心，線段oa叫做半徑，如右圖所示。2 圓可以看作是平面內到定點的距離等於定長的點的集合，定點為圓心，定長為圓的半徑。說明 圓的位置由...
初三數學圓知識點總結
一 本章知識框架 二 本章重點 1 圓的定義 1 線段oa繞著它的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓 2 圓是到定點的距離等於定長的點的集合 2 判定乙個點p是否在 o上 設 o的半徑為r，op d，則有 d r點p在 o 外 d r點p在 o 上 d3 與圓有關的角 1 圓心...