《圓》章節知識點複習
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念： 1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；
2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2）有乙個交點；
相交（圖3）有兩個交點；
內切（圖4）有乙個交點；
內含（圖5） 無交點 ；
五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
弧弧例題1、 基本概念
1．下面四個命題中正確的乙個是（ ）
a．平分一條直徑的弦必垂直於這條直徑 b．平分一條弧的直線垂直於這條弧所對的弦
c．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 d．在乙個圓內平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心
2．下列命題中，正確的是（ ）．
a．過弦的中點的直線平分弦所對的弧b．過弦的中點的直線必過圓心
c．弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心 d．弦的垂線平分弦所對的弧
例題2、垂徑定理
1、 在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油後，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那麼油麵寬度ab是________cm.
2、在直徑為52cm的圓柱形油槽內裝入一些油後，，如果油麵寬度是48cm，那麼油的最大深度為________cm.
3、如圖，已知在⊙中，弦，且，垂足為，於，於.
（1）求證：四邊形是正方形.
（2）若，，求圓心到弦和的距離.
4、已知：△abc內接於⊙o，ab=ac，半徑ob=5cm，圓心o到bc的距離為3cm，求ab的長．
5、如圖，f是以o為圓心，bc為直徑的半圓上任意一點，a是的中點，ad⊥bc於d，求證：ad=bf.
例題3、度數問題
1、已知：在⊙中，弦，點到的距離等於的一半，求：的度數和圓的半徑
2、已知：⊙o的半徑，弦ab、ac的長分別是、.求的度數。
例題4、相交問題
如圖，已知⊙o的直徑ab和弦cd相交於點e，ae=6cm，eb=2cm，∠bed=30°，求cd的長.
例題5、平行問題
在直徑為50cm的⊙o中，弦ab=40cm，弦cd=48cm，且ab∥cd，求：ab與cd之間的距離.
例題6、同心圓問題
如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦ab，交小圓於c、d兩點，設大圓和小圓的半徑分別為.求證：.
六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角∴
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環形，根據圖形3-3-19所表示的情形，四個工件哪乙個肯定是半圓環形？
【例2】如圖，已知⊙o中，ab為直徑，ab=10cm，弦ac=6cm，∠acb的平分線交⊙o於d，求bc、ad和bd的長．
【例3】如圖所示，已知ab為⊙o的直徑，ac為弦，od∥bc，交ac於d，bc=4cm．
（1）求證：ac⊥od； （2）求od的長； （3）若2sina－1=0，求⊙o的直徑．
【例4】四邊形abcd中，ab∥dc，bc=b，ab=ac=ad=a，如圖，求bd的長．
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
四邊形是內接四邊形
例1、如圖7-107，⊙o中，兩弦ab∥cd，m是ab的中點，過m點作弦de．求證：e，m，o，c四點共圓．
九、切線的性質與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線
∴平分利用切線性質計算線段的長度
例1：如圖，已知：ab是⊙o的直徑，p為延長線上的一點，pc切⊙o於c，cd⊥ab於d，又pc=4，⊙o的半徑為3．求：od的長．
利用切線性質計算角的度數
例2：如圖，已知：ab是⊙o的直徑，cd切⊙o於c，ae⊥cd於e，bc的延長線與ae的延長線交於f，且af=bf．求：∠a的度數．
利用切線性質證明角相等
例3：如圖，已知：ab為⊙o的直徑，過a作弦ac、ad，並延長與過b的切線交於m、n．求證：∠m**=∠mdn．
利用切線性質證線段相等
例4：如圖，已知：ab是⊙o直徑，co⊥ab，cd切⊙o於d，ad交co於e．求證：cd=ce．
利用切線性質證兩直線垂直
例5：如圖，已知：△abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o，交bc於d，de切⊙o於d，交ac於e．求證：de⊥ac．
十一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
例1.如圖1，正方形abcd的邊長為1，以bc為直徑。在正方形內作半圓o，過a作半圓切線，切點為f，交cd於e，求de：ae的值。
例2.⊙o中的兩條弦ab與cd相交於e，若ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，那麼cecm。
例3.如圖3，p是⊙o外一點，pc切⊙o於點c，pab是⊙o的割線，交⊙o於a、b兩點，如果pa：pb＝1：
4，pc＝12cm，⊙o的半徑為10cm，則圓心o到ab的距離是cm。
例4.如圖4，ab為⊙o的直徑，過b點作⊙o的切線bc，oc交⊙o於點e，ae的延長線交bc於點d，（1）求證：；（2）若ab＝bc＝2厘公尺，求ce、cd的長。
圖4例5.如圖5，pa、pc切⊙o於a、c，pdb為割線。求證：ad·bc＝cd·ab圖5十
二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
初三數學圓知識點複習專題經典
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