《圓》章節知識點複習
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；
2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2）有乙個交點 ；
相交（圖3）有兩個交點 ；
內切（圖4）有乙個交點 ；
內含（圖5） 無交點 ；
五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
弧弧六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
四邊形是內接四邊形
九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理：
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線
∴平分十一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長：扇形面積
2、圓柱：
（1）圓柱側面展開圖
=（2）圓柱的體積：
（2）圓錐側面展開圖
（1）=
（2）圓錐的體積：
十六、圓與三角形的關係
1、不在同一條直線上的三個點確定乙個圓。
2、三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓。
3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。
4、三角形的內切圓：與三角形的三邊都相切的圓。
5、三角形的內心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內切圓的圓心。
例1 如圖，在半徑為5cm的⊙o中，圓心o到弦ab的距離為3cm，則弦ab的長是（ ）
a．4cm b．6cm c．8cm d．10cm
例2、如圖，a、b、c、d是⊙o上的三點，∠bac=30°，則∠boc的大小是( )
a、60° b、45° c、30° d、15°
例3、如圖，四邊形abcd內接於⊙o，若∠bod＝，則∠bcd＝（）
（a）（b）（c）（d）
例4、如圖，已知圓心角∠boc＝，則圓周角∠bac的度數是（）
（a）（b）（c）（d）
例5、半徑為5厘公尺的圓中，有一條長為6厘公尺的弦，則圓心到此弦的距離為（）
（a）3厘公尺（b）4厘公尺 （c）5厘公尺（d）6厘公尺
例6、如圖，已知點e是圓o上的點， b、c分別是劣弧的三等分點， ，則的度數為
例7、如圖8，兩個同心圓的半徑分別為2和1，，則陰影部分的面積為
例8、如下圖，已知正三角形abc的邊長為a，分別為a、b、c為圓心，
積s。（圖中陰影部分）
原題可在上一題基礎上進一步變形：⊙a1、⊙a2、⊙a3…⊙an相外離，它們的半徑都是1，順次鏈結n個圓心得到的n邊形a1a2a3…an，求n個扇形的面積之和。
例9、（易錯題）在直徑為50cm的圓中，弦ab為40cm，弦cd為48cm，且ab∥cd，求ab與cd之間距離．
同步練習題：
1．如圖所示，ab是⊙o的弦，oc⊥ab於c，若ab=2cm，oc=1cm，則⊙o的半徑長為______cm．
2．乙個已知o點到圓周上的點的最大距離為5cm，最小距離為1cm，則此圓的半徑為______．
3．如圖所示⊙o的半徑為5，弦ab長為8，點m**段ab（包括端點a、b）上移動，則om的取值範圍是（ ）
a．3≤om≤5 b．3≤om<5
c．4≤om≤5 d．4≤om<5
4．如圖所示，矩形abcd與⊙o相交於m、n、f、e，若am=2，de=1，ef=8，則mn的長為（ ）
a．2 b．4 c．6 d．8
5．（教材變式題）如圖所示，⊙o的直徑ab垂直於弦cd，ab、cd相交於點e，∠cod=100°，求∠coe，∠d的度數．
6.如圖24-1-2-9，要把破殘的圓片複製完整，已知弧上三點a、b、c.
圖24-1-2-9
(1)用尺規作圖法，找出弧bac所在圓的圓心o；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)設△abc為等腰三角形，底邊bc=10 cm，腰ab=6 cm，求圓片的半徑r；(結果保留根號)
7.在圖24-1-2-3中，弦ab的長為24 cm，弦心距oc=5 cm，則⊙o的半徑rcm.
8.如圖24-1-2-4所示，直徑為10 cm的圓中，圓心到弦ab的距離為4 cm.求弦ab的長.
圖24-1-2-4
9.⊙o的直徑為10，弦ab的長為8，p是弦ab上的乙個動點，求op長的取值範圍.
10.如圖24-1-2-5,⊙o的半徑oa=3,以點a為圓心,oa的長為半徑畫弧交⊙o於b、c,則bc等於( )
a.3b.3cd.
圖24-1-2-5圖24-1-2-6
初三《圓》章節知識點預習專題
圓 章節知識點 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補充 ...
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初三數學圓知識點複習專題
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