一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
有關概念：
圓——到定點的距離等於定長的點的集合
圓的內部——可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
圓的外部——可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
等圓——圓心不相同，半徑相等的圓；同心圓——圓心相同，半徑不等的圓。
弧——圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。按與半圓的大小關係可分為：優弧和劣弧
等弧——在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧
弦——連線圓上任意兩點間的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。
弦心距——圓心到直線的距離
弓形——弧與所對的弦所組成得圖形。
圓的內部——到圓心的距離小於半徑的點的集合叫做圓的內部
圓的外部——到圓心的距離大於半徑的點的集合叫做圓的外部
圓心角：頂點在圓心的角
圓周角 ：頂點在圓周上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
弦切角、
圓內角、圓外角及性質：
頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
頂點在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數等於其所截兩弧度數差的一半.
頂點在圓內的角(兩邊與圓相交)的度數等於其及其對頂角所截弧度數和的一半.
確定圓的條件：
定理——不在同一直線上的三點確定乙個圓。
相關概念及性質——三角形的外接圓圓的內接三角形三角形的外心
三角形的外心的性質：三角形的外心到各個頂點的距離相等。
定理：圓的內接四邊形的對角互補，並且任何乙個外角都等於它的內對角
二、圓的對稱性：
圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；
垂徑定理——垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧
垂徑定理的推論
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
④在同圓或等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等
依據垂徑定理及其推論①②③可概括為定理：對於一條直線和乙個圓來說，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那麼也具備其他三個：①垂直弦②過圓心③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧
即： ①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧
圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；其特有旋轉不變性。
1、圓心角、弧、弦、弦心距之間相等關係定理——在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。
此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；③；④ 弧弧
推論——在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都相等
2、圓周角與圓心角的關係：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴3、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
4、圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中， ∵四邊形是內接四邊形
三、圓的相關位置關係
（1）點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
（2）直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；
2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
是⊙的切線
直線和圓位置關係的判定：
①依據定義 ②依據圓心到直線距離d與圓的半徑r的數量關係
圓的切線的判定：
1 定義②依據d=r
③用判定定理——圓的切線證明的兩種情況：①連半徑，證垂直；②作垂直，證半徑。
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
切線長定理
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線
∴平分相關概念及性質：三角形的內切圓圓的外切三角形三角形的內心
三角形的內心的性質：三角形的內心到三角形各邊距離相等
圓的外切四邊形兩組對邊和相等
弦切角定理： 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
（3）、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2）有乙個交點；
相交（圖3）有兩個交點；
內切（圖4）有乙個交點；
內含（圖5） 無交點 ；
一些重要的圓的相關定理
圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
垂直平分
圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
四、圓的相關運算
（1）圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
（2）、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長：扇形面積
2、圓柱：
（1）圓柱側面展開圖
=（2）圓柱的體積：
（2）圓錐側面展開圖
（1）=
（2）圓錐的體積：
五、圓有關問題輔助線的常見作法
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內切圓，內角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。
初三《圓》章節知識點預習專題
圓 章節知識點 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補充 ...
初三圓知識點
1.直線與圓的位置關係 1 直線與圓相離無交點 2 直線與圓相切有乙個交點 3 直線與圓相交有兩個交點 2 圓與圓的位置關係 外離 圖1 無交點 外切 圖2 有乙個交點 相交 圖3 有兩個交點 內切 圖4 有乙個交點 內含 圖5 無交點 3.垂徑定理垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1 1 ...
初三《圓》章節知識點複習專題學生版
圓 章節知識點複習 一 圓的概念 集合形式的概念 1 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合 2 圓的外部 可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合 3 圓的內部 可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合 軌跡形式的概念 1 圓 到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓 補...