數列知識點總結
一、等差數列與等比數列
二、判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：
1、數列是不是等差數列有以下三種方法：
2為常數).
2、數列是不是等比數列有以下四種方法：
(，)；； (為非零常數).
正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
三、求數列通項公式的方法
1、給出數列的前幾項，求數列的乙個通項公式——觀察法。
例1、分別寫出下面數列{}的乙個通項公式，使它的前４項分別是下列各數。
2、通項公式法
3、涉及前ｎ項和sn求通項公式，利用an與sn的基本關係式來求。即
例２、在數列｛an｝中，sn表示其前ｎ項和，且sn=n2,求通項an.
例３、在數列｛an｝中，sn表示其前ｎ項和，且sn＝２－３an,求通項ａｎ.
4、已知遞推公式（初始條件與遞推關係），求通項公式。
（１）待定係數法。
若題目特徵符合遞推關係式a1＝ａ, an+1＝ｂan＋ｃ(ａ,ｂ,ｃ均為常數，ｂ≠１,ｃ≠０)時，可用待定係數法構造等比數列求其通項公式。
例４、已知數列｛an｝滿足a1＝４, an＝３an-1－２,求通項an.
（２）逐差相加法。
若題目特徵符合遞推關係式ａ１＝ａ(ａ為常數)，an+1=an+f(n)時，可用逐差相加法求數列的通項公式。
例５、在數列中，a1=3,an+1=an+2n,求通項an.
（3）逐比連乘法。
若題目特徵符合遞推關係式a1=a（a為常數）,an+1=f(n)·an時，可用逐比連乘法求數列的通項公式。
例6、在數列中，a1=3,an+1=an·2n,求通項an.
（4）倒數法。若題目特徵符合遞推關係式a1=a,ban+can+1+dan·an+1=0(a,b,c,d均為常數)時，可用倒數法求數列的通項公式。
例7、在數列中，已知a1=1, ,求數列的通項an.
（5）歸納法。
這是一種通過計算、觀察、歸納規律，進而猜想、驗證（證明）的思維方法，是一種普遍適用的方法。在前面所有的問題中，只要轉化為遞推公式，就可以由初始條件逐次代入遞推關係，觀察計算結果，直到看出規律為止。
例9、在數列中，a1=3,an+1=an2,求數列的通項公式an.
四、求數列的前n項和的方法
1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
等差數列求和公式： ； 等比數列求和公式：
[例1] 已知，求的前n項和.
[例2] 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
2、錯位相減法求和：這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
[例3] 求和：
[例4] 求數列前n項的和.
3、倒序相加法求和：這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到個.
[例5] 求的值
4、分組法求和：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
[例6] 求數列的前n項和：，…
[例7] 求數列的前n項和.
5、裂項法求和：這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1）；（2）；（3）
[例9] 求數列的前n項和.
[例10] 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
[例11] 求證：
6、合併法求和：針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例13] 數列：，求s2002.
[例14] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
7、利用數列的通項求和：先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
[例15] 求之和.
[例16] 已知數列：的值.
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