高中數學三角函式與向量知識點及典例
平面向量部分
向量：既有大小，又有方向的量．
數量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度．
零向量：長度為的向量．
單位向量：長度等於個單位的向量．
相等向量：長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
ab＋bc＝ac，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點o出發的兩個向量oa、ob，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb，則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對於零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。
數乘運算
實數λ與向量a的積是乙個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。
設λ、μ是實數，那麼：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。
向量的數量積
已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cos θ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a?b的幾何意義：數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。
三角函式部分
1、善於用「1「巧解題
2、三角問題的非三角化解題策略
3、三角函式有界性求最值解題方法
4、三角函式向量綜合題例析
5、三角函式中的數學思想方法
15、正弦函式、余弦函式和正切函式的圖象與性質：
必修四角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在座標軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區域標上
一、二、
三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為終邊所落在的區域．
5、長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．
口訣：奇變偶不變，符號看象限．
1．根據解析式研究函式性質
例1（天津理）已知函式．
（ⅰ）求函式的最小正週期；（ⅱ）求函式在區間上的最小值和最大值．
【相關高考1】（湖南文）已知函式．
求：（i）函式的最小正週期；（ii）函式的單調增區間．
【相關高考2】（湖南理）已知函式，．
（i）設是函式圖象的一條對稱軸，求的值．（ii）求函式的單調遞增區間．
2．根據函式性質確定函式解析式
例2（江西）如圖，函式的圖象與軸相交於點，且該函式的最小正週期為．
（1）求和的值；
（2）已知點，點是該函式圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值．
【相關高考1】（遼寧）已知函式（其中），（i）求函式的值域； （ii）（文）若函式的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，求函式的單調增區間．
（理）若對任意的，函式，的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值（不必證明），並求函式的單調增區間．
【相關高考2】（全國ⅱ）在中，已知內角，邊．設內角，周長為．
（1）求函式的解析式和定義域；（2）求函式的最大值．
3．三角函式求值
例3（四川）已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(ⅰ)求tan2α的值；（ⅱ）求β.
【相關高考1】（重慶文）已知函式f(x)=.（ⅰ）求f(x)的定義域；（ⅱ）若角a在第一象限，且
【相關高考2】(重慶理)設f () = （1）求f()的最大值及最小正週期；（2）若銳角滿足，求tan的值.
4．三角形中的函式求值
例4（全國ⅰ）設銳角三角形abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，．
（ⅰ）求b的大小；（文）（ⅱ）若，，求b．（理）（ⅱ）求的取值範圍．
【相關高考1】（天津文）在中，已知，，．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．
【相關高考2】（福建）在中，，．（ⅰ）求角的大小；文（ⅱ）若邊的長為，求邊的長．理（ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．
5．三角與平面向量
例5（湖北理）已知的面積為，且滿足0≤≤，設和的夾角為．（i）求的取值範圍；
（ii）求函式的最大值與最小值．
【相關高考1】（陝西）設函式，
其中向量，且函式y=f(x)的圖象經過點，
（ⅰ）求實數m的值；（ⅱ）求函式f(x)的最小值及此時的值的集合.
【相關高考2】（廣東）已知δabc三個頂點的直角座標分別為a(3，4)、b(0，0)、c(，0)．
（文）(1)若，求的值；（理）若∠a為鈍角，求c的取值範圍；(2)若，求sin∠a的值．
6三角函式中的實際應用
例6（山東理）如圖，甲船以每小時海浬的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位於處時，乙船位於甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海浬，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海浬，問乙船每小時航行多少海浬？
【相關高考】（寧夏）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個側點與．現測得，並在點測得塔頂的仰角為，求塔高．
7．三角函式與不等式
例7（湖北文）已知函式，．（i）求的最大值和最小值；
（ii）若不等式在上恆成立，求實數的取值範圍．
8．三角函式與極值
例8（安徽文）設函式
其中≤1，將的最小值記為g(t).
(ⅰ)求g(t)的表示式；(ⅱ)討論g(t)在區間（-1,1）內的單調性並求極值.
三角函式易錯題解析
例題1 已知角的終邊上一點的座標為（），則角的最小值為（ ）。
a、 b、 c、 d、
例題2 a，b，c是abc的三個內角，且是方程的兩個實數根，則abc是（ ）
a、鈍角三角形 b、銳角三角形 c、等腰三角形 d、等邊三角形
例題3 已知方程（a為大於1的常數）的兩根為，，
且、，則的值是
例題4 函式的最大值為3，最小值為2，則
例題5 函式f(x)=的值域為
例題6 若2sin2α的取值範圍是
例題7 已知，求的最小值及最大值。
例題8 求函式的最小正週期。
例題9 求函式的值域
例題10 已知函式≤≤是r上的偶函式，其影象關於點m對稱，且在區間[0，]上是單調函式，求和的值。
高中數學必修4三角函式知識點與題型總結
三角函式典型考題歸類 1 根據解析式研究函式性質 例1 天津理 已知函式 求函式的最小正週期 求函式在區間上的最小值和最大值 相關高考1 湖南文 已知函式 求 i 函式的最小正週期 ii 函式的單調增區間 相關高考2 湖南理 已知函式，i 設是函式圖象的一條對稱軸，求的值 ii 求函式的單調遞增區間...
高中數學必修4三角函式知識點與題型總結
三角函式典型考題歸類 1 根據解析式研究函式性質 例1 天津理 已知函式 求函式的最小正週期 求函式在區間上的最小值和最大值 相關高考1 湖南文 已知函式 求 i 函式的最小正週期 ii 函式的單調增區間 相關高考2 湖南理 已知函式，i 設是函式圖象的一條對稱軸，求的值 ii 求函式的單調遞增區間...
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三角函式典型考題歸類 1 根據解析式研究函式性質 例1 天津理 已知函式 求函式的最小正週期 求函式在區間上的最小值和最大值 相關高考1 湖南文 已知函式 求 i 函式的最小正週期 ii 函式的單調增區間 相關高考2 湖南理 已知函式，i 設是函式圖象的一條對稱軸，求的值 ii 求函式的單調遞增區間...