三角函式知識點總結
1、角的概念的推廣:平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角,一條射線沒有作任何旋轉時,稱它形成乙個零角。
射線的起始位置稱為始邊,終止位置稱為終邊。
2、象限角的概念:在直角座標系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在座標軸上,就認為這個角不屬於任何象限。
3. 終邊相同的角的表示:
(1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上) ,注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.如與角的終邊相同,且絕對值最小的角的度數是___,合___弧度。
(答:;)
(2)終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
(3)終邊與終邊關於軸對稱.
(4)終邊與終邊關於軸對稱.
(5)終邊與終邊關於原點對稱.
(6)終邊在軸上的角可表示為:;終邊在軸上的角可表示為:;終邊在座標軸上的角可表示為:.如的終邊與的終邊關於直線對稱,則答:)
4、與的終邊關係:由「兩等分各象限、一二三四」確定.如若是第二象限角,則是第_____象限角(答:
一、三)
5.弧長公式:,扇形面積公式:,1弧度(1rad). 如已知扇形aob的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積。(答:2)
6、任意角的三角函式的定義:設是任意乙個角,p是的終邊上的任意一點(異於原點),它與原點的距離是,那麼,, , ,。三角函式值只與角的大小有關,而與終邊上點p的位置無關。
如(1)已知角的終邊經過點p(5,-12),則的值為__。(答:);(2)設是第
三、四象限角,,則的取值範圍是_______(答:(-1,);(3)若,試判斷的符號(答:負)
7.三角函式線的特徵是:正弦線mp「站在軸上(起點在軸上)」、余弦線om「躺在軸上(起點是原點)」、正切線at「站在點處(起點是)」.
三角函式線的重要應用是比較三角函式值的大小和解三角不等式
如(1)若,則的大小關係為_____(答:);
(2)若為銳角,則的大小關係為_______ (答:);
(3)函式的定義域是_______(答:)
8.特殊角的三角函式值:
9. 同角三角函式的基本關係式:
(1)平方關係:
(2)商數關係:
同角三角函式的基本關係式的主要應用是,已知乙個角的三角函式值,求此角的其它三角函式值。在運用平方關係解題時,要根據已知角的範圍和三角函式的取值,盡可能地壓縮角的範圍,以便進行定號;在具體求三角函式值時,一般不需用同角三角函式的基本關係式,而是先根據角的範圍確定三角函式值的符號,再利用解直角三角形求出此三角函式值的絕對值。
如(1)函式的值的符號為____(+)
(2)若,則使成立的的取值範圍是____(答: );
(3)已知,,則=____(答:);
(4)已知,則答:;);
(5)已知,則等於
a、 b、c、d、(答:b);
(6)已知,則的值為______(答:-1)。
10.三角函式誘導公式()的本質是:奇變偶不變(對而言,指取奇數或偶數),符號看象限(看原函式,同時可把看成是銳角).
誘導公式的應用是求任意角的三角函式值,其一般步驟:(1)負角變正角,再寫成2k+,;(2)轉化為銳角三角函式。
如(1)的值為________(答:);(2)已知,則______,若為第二象限角,則_。(答:;)
11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
如(1)下列各式中,值為的是
a、b、 c、 d、 (答:c);
(2)已知,那麼的值為___(答:);
(3)的值是______(答:4);(4)已知,求的值(用a表示)甲求得的結果是,乙求得的結果是,對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是______(答:甲、乙都對)
12. 三角函式的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是:一角二名三結構。
即首先觀察角與角之間的關係,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函式變換的核心!第二看函式名稱之間的關係,通常「切化弦」;第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:
(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如,,,,等),
如(1)已知,,那麼的值是_____(答:);(2)已知,且,,求的值(答:);
(3)已知為銳角,,,則與的函式關係為______(答:)
(2)三角函式名互化(切割化弦),
如(1)求值(答:1);
(2)已知,求的值(答:)
(3)公式變形使用(。
如(1)已知a、b為銳角,且滿足,則=_____(答:);
(2)設中,,,則此三角形是____三角形(答:等邊)
(4)三角函式次數的降公升(降冪公式:,與公升冪公式:,)。
如(1)若,化簡為_____(答:);
(2)函式的單調遞增區間為答:)
(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。
如(1)(答:);
(2)求證:;
(3)化簡:(答:)
(6)常值變換主要指「1」的變換(
等),如已知,求(答:).
(7)正余弦「三兄妹—」的記憶體聯絡――「知一求二」,
如(1)若,則 __(答:),特別提醒:這裡;
(2)若,求的值。(答:);
(3)已知,試用表示的值(答:)。
13、輔助角公式中輔助角的確定: (其中角所在的象限由a, b的符號確定,角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。如(1)若方程有實數解,則的取值範圍是答:
[-2,2]);(2)當函式取得最大值時,的值是______(答:);(3)如果是奇函式,則= (答:-2);(4)求值答:
32)14、正弦函式和余弦函式的圖象:正弦函式和余弦函式圖象的作圖方法:五點法:
先取橫座標分別為0,的五點,再用光滑的曲線把這五點連線起來,就得到正弦曲線和余弦曲線在乙個週期內的圖象。
15、正弦函式、余弦函式的性質:
(1)定義域:都是r。
(2)值域:都是,對,當時,取最大值1;當時,取最小值-1;對,當時,取最大值1,當時,取最小值-1。如(1)若函式的最大值為,最小值為,則__,_(答:或);
(2)函式()的值域是____(答:[-1, 2]);
(3)若,則的最大值和最小值分別是答:7;-5);(4)函式的最小值是_____,此時答:2;);(5)己知,求的變化範圍(答:
);(6)若,求的最大、最小值(答:,)。特別提醒:
在解含有正余弦函式的問題時,你深入挖掘正余弦函式的有界性了嗎?
(3)週期性:①、的最小正週期都是2;②和的最小正週期都是。如(1)若,則=___(答:0);(2) 函式
的最小正週期為____(答:);(3) 設函式,若對任意都有成立,則的最小值為____(答:2)
(4)奇偶性與對稱性:正弦函式是奇函式,對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函式是偶函式,對稱中心是,對稱軸是直線(正(餘)弦型函式的對稱軸為過最高點或最低點且垂直於軸的直線,對稱中心為圖象與軸的交點)。如(1)函式的奇偶性是______(答:
偶函式);(2)已知函式為常數),且,則______(答:-5);(3)函式的圖象的對稱中心和對稱軸分別是答:、);(4)已知為偶函式,求的值。
(答:)
(5)單調性:上單調遞增,在單調遞減;在上單調遞減,在上單調遞增。特別提醒,別忘了!
16、形如的函式:
(1)幾個物理量:a―振幅;―頻率(週期的倒數);―相位;―初相;
(2)函式表示式的確定:a由最值確定;由週期確定;由圖象上的特殊點確定,如,的圖象如圖所示,則=_____(答:);
(3)函式圖象的畫法:①「五點法」――設,令=0,求出相應的值,計算得出五點的座標,描點後得出圖象;②圖象變換法:這是作函式簡圖常用方法。
(4)函式的圖象與圖象間的關係:①函式的圖象縱座標不變,橫座標向左(>0)或向右(<0)平移個單位得的圖象;②函式圖象的縱座標不變,橫座標變為原來的,得到函式的圖象;③函式圖象的橫座標不變,縱座標變為原來的a倍,得到函式的圖象;④函式圖象的橫座標不變,縱座標向上()或向下(),得到的圖象。要特別注意,若由得到的圖象,則向左或向右平移應平移個單位,如(1)函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象?
(答:向上平移1個單位得的圖象,再向左平移個單位得的圖象,橫座標擴大到原來的2倍得的圖象,最後將縱座標縮小到原來的即得的圖象);(2) 要得到函式的圖象,只需把函式的圖象向___平移____個單位(答:左;);(3)將函式影象,按向量平移後得到的函式影象關於原點對稱,這樣的向量是否唯一?
若唯一,求出;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量);(4)若函式的圖象與直線有且僅有四個不同的交點,則的取值範圍是答:)
(5)研究函式性質的方法:模擬於研究的性質,只需將中的看成中的,但在求的單調區間時,要特別注意a和的符號,通過誘導公式先將化正。如(1)函式的遞減區間是______(答:
);(2)的遞減區間是_______(答:);(3)設函式的圖象關於直線對稱,它的週期是,則a、 b、在區間上是減函式 c、 d、的最大值是a(答:c);(4)對於函式給出下列結論:
①圖象關於原點成中心對稱;②圖象關於直線成軸對稱;③圖象可由函式的影象向左平移個單位得到;④影象向左平移個單位,即得到函式的影象。其中正確結論是_______(答:②④);(5)已知函式圖象與直線的交點中,距離最近兩點間的距離為,那麼此函式的週期是_______(答:
)17、正切函式的圖象和性質:
(1)定義域:。遇到有關正切函式問題時,你注意到正切函式的定義域了嗎?
(2)值域是r,在上面定義域上無最大值也無最小值;
(3)週期性:是週期函式且週期是,它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是乙個週期。絕對值或平方對三角函式週期性的影響:
一般說來,某一週期函式解析式加絕對值或平方,其週期性是:弦減半、切不變.既為週期函式又是偶函式的函式自變數加絕對值,其週期性不變,其它不定。 如的週期都是, 但
的週期為,而,的週期不變;
(4)奇偶性與對稱性:是奇函式,對稱中心是,特別提醒:正(餘)切型函式的對稱中心有兩類:
一類是圖象與軸的交點,另一類是漸近線與軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函式的不同之處。
(5)單調性:正切函式在開區間內都是增函式。但要注意在整個定義域上不具有單調性。如下圖:
18、求角的方法:先確定角的範圍,再求出關於此角的某乙個三角函式(要注意選擇,其標準有二:一是此三角函式在角的範圍內具有單調性;二是根據條件易求出此三角函式值)。
如(1)若,且、是方程的兩根,則求的值______(答:);(2)中,,則=_______(答:);(3)若且,,求的值(答:).
高中數學三角函式知識點
高中數學第四章 三角函式知識點彙總 1.與 0 360 終邊相同的角的集合 角與角的終邊重合 終邊在x軸上的角的集合 終邊在y軸上的角的集合 終邊在座標軸上的角的集合 終邊在y x軸上的角的集合 終邊在軸上的角的集合 若角與角的終邊關於x軸對稱,則角與角的關係 若角與角的終邊關於y軸對稱,則角與角的...
知識點 高中數學 三角比與三角函式
一 角的表示 1 角度與弧度 1 長度等於半徑的弧所對的圓心角大小是1弧度.周長 2 角度制與弧度制不能混寫 3 弧長公式 扇形面積公式 2 任意角 一條射線繞著它的端點,由初始位置 始邊 旋轉到最終位置 終邊 就形成了乙個角 按逆時針方向為正角,按順時針方向為負角,不旋轉為零角。3 與 終邊相同的...
高中數學三角函式知識點總結原創版
高考三角函式 1.特殊角的三角函式值 2 角度制與弧度制的互化 3.弧長及扇形面積公式 弧長公式 扇形面積公式 s 是圓心角且為弧度制。r 是扇形半徑 4.任意角的三角函式 設是乙個任意角,它的終邊上一點p x,y r 1 正弦sin 余弦cos 正切tan 2 各象限的符號 sincostan 5...