高中數學三角函式知識點總結原創版

高考三角函式

1.特殊角的三角函式值：

2．角度制與弧度制的互化：

3.弧長及扇形面積公式

弧長公式：扇形面積公式:s=

----是圓心角且為弧度制。 r-----是扇形半徑

4.任意角的三角函式

設是乙個任意角，它的終邊上一點p（x,y）, r=

(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=

(2)各象限的符號：

sincostan

5.同角三角函式的基本關係：

（1）平方關係：sin2+ cos2=1。（2）商數關係： =tan

6.誘導公式：記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限。

，，．，，．

口訣：函式名稱不變，符號看象限．

，．，．

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

7正弦函式、余弦函式和正切函式的圖象與性質

8、三角函式公式：

降冪公式公升冪公式

1+coscos2

1-cossin2

9．正弦定理：

.餘弦定理：;;

.三角形面積定理..

1．直角三角形中各元素間的關係：

如圖，在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。

（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）

（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；

（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）

sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。

2．斜三角形中各元素間的關係：

在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。

（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。

（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

。（r為外接圓半徑）

（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

a2＝b2＋c2－2bccosa；b2＝c2＋a2－2cacosb；c2＝a2＋b2－2abcosc。

3．三角形的面積公式：

（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；

（2）△＝absinc＝bcsina＝acsinb；

（3）△＝＝＝；

（4）△＝2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）

（5）△＝；

（6）△＝；；

（7）△＝r·s。

4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這裡所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形

解斜三角形的主要依據是：

設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c。

（1）角與角關係：a+b+c = π；

（2）邊與邊關係：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）邊與角關係：

正弦定理（r為外接圓半徑）；

餘弦定理 c2 = a2+b2－2bccosc，b2 = a2+c2－2accosb，a2 = b2+c2－2bccosa；

它們的變形形式有：a = 2r sina，，。

5．三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。

（1）角的變換

因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。；

（2）三角形邊、角關係定理及面積公式，正弦定理，餘弦定理。

r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。

（3）在△abc中，熟記並會證明：∠a，∠b，∠c成等差數列的充分必要條件是∠b=60°；△abc是正三角形的充分必要條件是∠a，∠b，∠c成等差數列且a，b，c成等比數列。

四．【典例解析】

題型1：正、餘弦定理

（2009岳陽一中第四次月考）.已知△中，，，，，，則

a.． bcd．或

答案 c

例1．（1）在中，已知，， cm，解三角形；

（2）在中，已知cm， cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。

解析：（1）根據三角形內角和定理，

；根據正弦定理，

（2）根據正弦定理，

因為＜＜，所以，或

①當時，，

②當時，

，點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對於解三角形中的複雜運算可使用計算器

例2．（1）在abc中，已知，，，求b及a；

（2）在abc中，已知，，，解三角形

解析：（1）∵

=cos==

∴求可以利用餘弦定理，也可以利用正弦定理：

解法一：∵cos ∴

解法二：∵sin

又∵＞＜∴＜，即＜＜

∴（2）由餘弦定理的推論得：

cos；

cos；點評：應用餘弦定理時解法二應注意確定a的取值範圍。

題型2：三角形面積

例3．在中，，，，求的值和的面積。

解法一：先解三角方程，求出角a的值。

又, ,

。解法二：由計算它的對偶關係式的值。

,+　　得　　。

－　　得　　。

從而　。

以下解法略去。

點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？

例4．（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等於，

的取值範圍為

答案 2

解析設由正弦定理得

由銳角得，

又，故，

例5．（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．

（i）求的面積；（ii）若，求的值．

解（1）因為，，又由

得，（2）對於，又，或，由餘弦定理得

，例6．（2009全國卷ⅰ理）在中，內角a、b、c的對邊長分別為、、，已知，且求b

分析：:此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用餘弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.

解法一：在中則由正弦定理及餘弦定理有:化簡並整理得：.又由已知.解得

解法二:由餘弦定理得: .又,.

所以又，

，即由正弦定理得，故

由①，②解得.

評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正餘弦定理的考查.在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.

另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練

題型4：三角形中求值問題

例7．的三個內角為，求當a為何值時，取得最大值，並求出這個最大值。

解析：由a+b+c=π，得=－，所以有cos =sin。

cosa+2cos =cosa+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin －)2+；

當sin =，即a=時, cosa+2cos取得最大值為。

點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關於乙個角的三角函式的形式，通過三角函式的性質求得結果。

例8．（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．

（i）求的面積；（ii）若，求的值．

解（ⅰ）

又，，而，所以，所以的面積為：

（ⅱ）由（ⅰ）知，而，所以

所以點評：本小題主要考察三角函式概念、同角三角函式的關係、兩角和與差的三角函式的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力

題型5：三角形中的三角恒等變換問題

例9．在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值。

分析：因給出的是a、b、c之間的等量關係，要求∠a，需找∠a與三邊的關係，故可用餘弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。

解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac。

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

在△abc中，由餘弦定理得：cosa===，∴∠a=60°。

在△abc中，由正弦定理得sinb=，∵b2=ac，∠a=60°，

∴=sin60°=。

解法二：在△abc中，

由面積公式得bcsina=acsinb。

∵b2=ac，∠a=60°，∴bcsina=b2sinb。

∴=sina=。

評述：解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理。

例10．在△abc中，已知a、b、c成等差數列，求的值。

解析：因為a、b、c成等差數列，又a＋b＋c＝180°，所以a＋c＝120°，

從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，

得。所以

。點評：在三角函式求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。

題型6：正、餘弦定理判斷三角形形狀

例11．在△abc中，若2cosbsina＝sinc，則△abc的形狀一定是（）

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