高考三角函式
1.特殊角的三角函式值：
2．角度制與弧度制的互化：
3.弧長及扇形面積公式
弧長公式： 扇形面積公式:s=
----是圓心角且為弧度制。 r-----是扇形半徑
4.任意角的三角函式
設是乙個任意角，它的終邊上一點p（x,y）, r=
(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=
(2)各象限的符號：
sincostan
5.同角三角函式的基本關係：
（1）平方關係：sin2+ cos2=1。（2）商數關係： =tan
6.誘導公式：記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限。
，，．，，．
，，．，，．
口訣：函式名稱不變，符號看象限．
，．，．
口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．
7正弦函式、余弦函式和正切函式的圖象與性質
8、三角函式公式：
降冪公式公升冪公式
1+coscos2
1-cossin2
9．正弦定理：
.餘弦定理：;;
.三角形面積定理..
1．直角三角形中各元素間的關係：
如圖，在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；
（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。
2．斜三角形中各元素間的關係：
在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。
（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等
。（r為外接圓半徑）
（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
a2＝b2＋c2－2bccosa；b2＝c2＋a2－2cacosb；c2＝a2＋b2－2abcosc。
3．三角形的面積公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
（2）△＝absinc＝bcsina＝acsinb；
（3）△＝＝＝；
（4）△＝2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）
（5）△＝；
（6）△＝；；
（7）△＝r·s。
4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這裡所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形
解斜三角形的主要依據是：
設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c。
（1）角與角關係：a+b+c = π；
（2）邊與邊關係：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）邊與角關係：
正弦定理 （r為外接圓半徑）；
餘弦定理 c2 = a2+b2－2bccosc，b2 = a2+c2－2accosb，a2 = b2+c2－2bccosa；
它們的變形形式有：a = 2r sina，，。
5．三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。
（1）角的變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。；
（2）三角形邊、角關係定理及面積公式，正弦定理，餘弦定理。
r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。
（3）在△abc中，熟記並會證明：∠a，∠b，∠c成等差數列的充分必要條件是∠b=60°；△abc是正三角形的充分必要條件是∠a，∠b，∠c成等差數列且a，b，c成等比數列。
四．【典例解析】
題型1：正、餘弦定理
（2009岳陽一中第四次月考）.已知△中，，，，，，則
a.． bcd． 或
答案 c
例1．（1）在中，已知，， cm，解三角形；
（2）在中，已知cm， cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。
例2．（1）在abc中，已知，，，求b及a；
（2）在abc中，已知，，，解三角形
解析：（1）∵
=cos==
∴求可以利用餘弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos ∴
（2）由餘弦定理的推論得：
cos；
cos；例3．在中，，，，求的值和的面積。
又, ,
。例4．（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等於 ，
的取值範圍為
答案 2
解析設由正弦定理得
由銳角得，
又，故，
例5．（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．
（i）求的面積； （ii）若，求的值．
解 （1）因為，，又由
得，（2）對於，又，或，由餘弦定理得
，例6．（2009全國卷ⅰ理）在中，內角a、b、c的對邊長分別為、、，已知，且求b
解法一：在中則由正弦定理及餘弦定理有:化簡並整理得：.又由已知.解得
例7．的三個內角為，求當a為何值時，取得最大值，並求出這個最大值。
解析：由a+b+c=π，得=－，所以有cos =sin。
cosa+2cos =cosa+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin －)2+；
當sin =，即a=時, cosa+2cos取得最大值為。
例8．（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．
（i）求的面積； （ii）若，求的值．
解（ⅰ）
又，，而，所以，所以的面積為：
（ⅱ）由（ⅰ）知，而，所以
所以例9．在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值。
∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△abc中，由餘弦定理得：cosa===，∴∠a=60°。
在△abc中，由正弦定理得sinb=，∵b2=ac，∠a=60°，
∴=sin60°=。
例10．在△abc中，已知a、b、c成等差數列，求的值。
解析：因為a、b、c成等差數列，又a＋b＋c＝180°，所以a＋c＝120°，
從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，
得。所以
。例11．在△abc中，若2cosbsina＝sinc，則△abc的形狀一定是（ ）
a.等腰直角三角形b.直角三角形
c.等腰三角形d.等邊三角形
答案：c
解析：2sinacosb＝sin（a＋b）＋sin（a－b）又∵2sinacosb＝sinc，
∴sin（a－b）＝0，∴a＝b
例12．（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且
（i）求的值；
（ii）若，求的值。
解（i）∵為銳角，
∴ ∵（ii）由（i）知，∴
由得，即
又∵∴ ∴
∴21.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且
（i）求的值；
（ii）若，求的值。
解（i）∵為銳角，
∴ ∵（ii）由（i）知，∴
由得，即
又∵∴ ∴
∴五．【思維總結】
1．解斜三角形的常規思維方法是：
（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = π求c，由正弦定理求a、b；
（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用餘弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然後利用a+b+c = π，求另一角；
（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應用正弦定理求b，由a+b+c = π求c，再由正弦定理或餘弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；
（4）已知三邊a、b、c，應餘弦定理求a、b，再由a+b+c = π，求角c。
2．三角形內切圓的半徑：，特別地，；
3．三角學中的射影定理：在△abc 中，，…
4．兩內角與其正弦值：在△abc 中，，…
5．解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合「三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解」
1如果函式的影象關於點中心對稱，那麼的最小值為（ ）
（a）（b）（c） (d)
2、右圖所示的是函式圖象的一部分，則其函式解析式是
a．b． c． d．
3、已知函式的最小正週期為，則該函式圖象
a．關於直線對稱 b．關於點(，0)對稱
c．關於點(，0)對稱 d．關於直線對稱
4、由函式的圖象
a．向左平移個單位 b．向左平移個單位
c．向右平移個單位 d．向右平移個單位
5、若是函式圖象的一條對稱軸，當取最小正數時
a．在單調遞增 b．在單調遞減
c．在單調遞減 d．在單調遞增
6、函式（）的最小正週期是，若其影象向左平移個單位後得到的函式為奇函式，則的值為（ ）
高中數學三角函式知識點
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高中數學三角函式知識點整合
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知識點 高中數學 三角比與三角函式
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