一、數列的概念：數列是按一定次序排成的一列數。數列中的每乙個數都叫做這個數列的項。
數列是乙個定義域為正整數集n*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函式，如果數列的第n項與n之間的關係可以用乙個公式來表示，則這個公式就叫做這個數列的通項公式。數列的通項公式也就是相應函式的解析式。
如（1）已知，則在數列的最大項為__（答：）；
（2）數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關係為___（答： ）；
（3）已知數列中，，且是遞增數列，求實數的取值範圍（答：）；
遞推關係式：已知數列的第一項（或前幾項），且任何一項與它的前一項an-1（前n項）間的關係可以用乙個式子來表示，則這個式子就叫數列的遞推關係式。
數列的分類：①按項數多少，分為有窮數列、無窮數列；
②按項的增減，分為遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列。
③按項有無界限，分為有界數列、無界數列。
數列的前n項和：.
已知求的方法（只有一種）：即利用公式 =注意：一定不要忘記對n取值的討論！最後，還應檢驗當n=1的情況是否符合當n2的關係式，從而決定能否將其合併。
二、等差數列的有關概念：
1、 等差數列的定義：如果數列從第二項起每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等差數列，這個常數叫等差數列的公差。即.(或).
（1） 等差數列的判斷方法：
①定義法： 為等差數列。
② 中項法： 為等差數列。
③通項公式法：（a,b為常數）為等差數列。
④前n項和公式法：（a,b為常數）為等差數列。
（2） 等差數列的通項：或。公式變形為:. 其中a=d,
b=－d.
如(1)等差數列中，，，則通項 （答：）；
（2）首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值範圍是______（答：）
（3）等差數列的前和：，。公式變形為：，其中a=，b=.注意：已知n,d, ,, 中的三者可以求另兩者，即所謂的「知三求二」。
如（1）數列中，，，前n項和，則＝＿，＝＿（答：，）；
（2）已知數列的前n項和，求數列的前項和（答：）.
（4）等差中項：若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。
提醒：（1）等差數列的通項公式及前項和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。
只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；偶數個數成等差，可設為…，,…（公差為2）
2、等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；前和是關於的二次函式且常數項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.如（1）等差數列中，，則＝____（答：27）；
（2）在等差數列中，，且，是其前項和，則（ b ）
a、都小於0，都大於0 b、都小於0，都大於0
c、都小於0，都大於0 d、都小於0，都大於0
(4) 項數成等差,則相應的項也成等差數列.即成等差.若、是等差數列，則、(、是非零常數)、、，…也成等差數列。
如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為答：225）
（5）單調性：設d為等差數列的公差，則
d>0是遞增數列；d<0是遞減數列；d=0是常數數列
(6)若等差數列、的前和分別為、，且，則.如設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那麼答：）
3、已知成等差數列，求的最值問題：
方法一：
1 若,d<0且滿足,則最大；
②若,d>0且滿足,則最小.
確定出前多少項為非負（或非正）；從而確定前多少項的和最大（或最小）。
方法二：
因等差數列前項是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，即，但要注意數列的特殊性。
如（1）等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？並求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
（2）若是等差數列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數n是答：4006）
三、等比數列的有關概念：
1.等比數列的有關概念：如果數列從第二項起每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫等比數列的公比。即（或
（1）等比數列的判斷方法：定義法，其中或。
如①乙個等比數列{}共有項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則為____（答：）；②數列中， =4+1 ()且=1，若，求證：數列｛｝是等比數列。
(2)等比數列的通項：或。
如①設等比數列中，，，前項和＝126，求和公比.
（答：，或2）
2 等比數列中，＝2，s99=77，求（答：44）
(3)等比數列的前n項和公式：
特別提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
（4）等比中項：如果a、g、b三個數成等比數列，那麼g叫做a與b的等比中項，即g=.
提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。
例如：已知兩個正數的等差中項為a，等比中項為b，則a與b的大小關係為______（答：a＞b）
提醒：（1）等比數列的通項公式及前項和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2；
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為）；但偶數個數成等比時，不能設為…，…，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為。
例如：有四個數，其中前三個數成等差數列，後三個成等比數列，且第乙個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
2、等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.
例如：（1）在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）；
（2）各項均為正數的等比數列中，若，則 （答：10）。
(2) 若是等比數列，則、、成等比數列；若成等比數列，則、成等比數列； 若是等比數列，且公比，則數列，…也是等比數列。
例如：（1）已知且，設數列滿足，且，則 . （答：）；
（2）在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為______（答：40）
(3) 單調性：若，或則為遞增數列；若,或則為遞減數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(4) 當時，，這裡，但，這是等比數列前項和公式的乙個特徵，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。
例如：若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
四、數列的通項公式的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
例如：已知數列試寫出其乙個通項公式答：）
⑵已知求，用作差法：。
例如：①已知的前項和滿足，求（答：）；
②數列滿足，求（答：）
⑶已知求，用作商法：。
例如：數列中，對所有的都有，則______（答：）
⑷若求用累加法： 。
例如：已知數列滿足， ，則答：）
⑸已知求，用累乘法： 。
例如：已知數列中，，前項和，若，求（答：）
注意：（1）用求數列的通項公式時，，（當時，）；（2）一般地當已知條件中含有與的混合關係時，常需運用關係式，先將已知條件轉化為只含或的關係式，然後再求解。
例如：數列滿足，求（答：）
五、數列求和的常用方法：
（1）公式法：直接利用或可通過轉化為等差、等比數列的求和公式求解。特別宣告：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關係，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.
例如：①等比數列的前項和sｎ＝2ｎ－１，則＝_____（答：）；
②計算機是將資訊轉換成二進位制數進行處理的。二進位制即「逢2進1」，如表示二進位制數，將它轉換成十進位制形式是，那麼將二進位制轉換成十進位制數是_______（答：）
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常把數列的各項分成多個項或把數列的項重新組合，使其轉化成等差或等比數列，然後利用公式求和。
例如：求：（答：）
（3）倒序相加法：倒序相加法：數列特點：與首末等距離的兩項之和等於首末兩項之和，則採用此法。（聯絡：等差數列的前n項和推導過程以及高斯小時後巧解算術題））.
例如：已知，則＝______（答：）
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由乙個等差數列的通項與乙個等比數列的通項相乘構成，即數列是乙個「差·比」數列，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
例如：設為等比數列，，已知，，①求數列的首項和公比；②求數列的通項公式.（答：①，；②）；
（5）裂項相消法：裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負抵消，從而前n項化成首尾若干少數項之和。
如果數列的通項可「**成兩項差」的形式，且相鄰項**後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①； ②；
③，；④⑤；
⑥⑦；例如：（1）求和： （答：）；
（2）在數列中，，且sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；
（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特徵，再運用分組求和法求和。
例如：①求數列1×4，2×5，3×6，…，，…前項和= （答：）；②求和答：）
數列基本知識點總結
第三章數列 1.等差 等比數列 看數列是不是等差數列有以下三種方法 2 為常數 看數列是不是等比數列有以下四種方法 注 i.是a b c成等比的雙非條件，即a b c等比數列.ii.ac 0 為a b c等比數列的充分不必要.iii.為a b c等比數列的必要不充分.iv.且 為a b c等比數列的...
數列複習基本知識點及經典結論總結
1 數列的概念數列是乙個定義域為正整數集n 或它的有限子集 1,2，3，n 的特殊函式，數列的通項公式也就是相應函式的解析式。如已知，則在數列的最大項為 答 遞推關係式數列的分類數列的前n項和 已知求的方法 只有一種 即利用公式 注意 一定不要忘記對n取值的討論！最後，還應檢驗當n 1的情況是否符合...
複習基本知識點及經典結論總結之數列
選校網 高考頻道專業大全歷年分數線上萬張大學 大學 院校庫 1 數列的概念 數列是按一定次序排成的一列數。數列中的每乙個數都叫做這個數列的項。數列是乙個定義域為正整數集n 或它的有限子集 1,2，3，n 的特殊函式，如果數列的第n項與n之間的關係可以用乙個公式來表示，則這個公式就叫做這個數列的通項公...