經典例題透析
1．垂徑定理及其應用
在圓這一章中，涉及垂徑定理的有關知識點很多，如弓形中的有關計算、切線的性質、判定定理等，也是在各地中考中經常出現的乙個考點.應用垂徑定理可以進行線段的垂直、平分以及弓形面積的計算等.
1．某居民小區的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面圖；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬ab=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑.
思路點撥：本題考查圓的確定、垂徑定理以及直角三角形的性質有關等知識.
解：(1)作法略.如圖所示.
(2)如圖所示，過o作oc⊥ab於d，交於c，
∵ oc⊥ab，
∴ .由題意可知，cd=4cm.
設半徑為x cm，則.
在rt△bod中，由勾股定理得：
∴.∴ .
即這個圓形截面的半徑為10cm.
總結昇華：在解答有關圓的問題時，常需要運用圖中已知條件尋找線段之間、角之間、弧之間的關係，從中探索出如等腰三角形、直角三角形等資訊，從而達到解決問題的目的，此題還可以進一步求出陰影部分的周長或面積等.
舉一反三：
【變式1】「圓材埋壁」是我國古代著名的數學著作《九章算術》中的問題：「今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?」用數學語言可表示為：
如圖所示，cd為⊙o的直徑，弦ab⊥cd於e，ce=1寸，ab=10寸，則直徑cd的長為( )
a．12.5寸 b．13寸 c．25寸 d．26寸
答案：d
解析：因為直徑cd垂直於弦ab，所以可通過連線oa(或ob)，求出半徑即可.
根據「垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的兩條弧」，
知(寸)，在rt△aoe中，，
即，解得oa=13，進而求得cd=26(寸).
2．圓周角及其應用
圓周角與圓心角是本章中最常用的角，在中考中經常出現，一般單獨考查它的題目不多，都是隱含在其他題目中.
2．如圖所示，△abc內接於⊙o，點d是ca延長線上一點，若∠boc=120°，∠bad等於( )
a.30° b.60° c.75° d.90°
思路點撥：本題可求先出∠bac的度數，∠bac所對的弧是優弧，則該弧所對的圓心角度數為360°-120°=240°，所以，因此，.
答案：b.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，⊙o的內接四邊形abcd中，ab=cd，則圖中與∠1相等的角有
答案：∠6，∠2，∠5.
解析：本題中由弦ab=cd可知，因為同弧或等弧所對的圓周角相等，故有∠1 =∠6=∠2=∠5.
【變式2】如圖所示，已知ab為⊙o的直徑，ac為弦，od∥bc，bc=4cm.
(1)說明ac⊥od； (2)求od的長.
解：(1)∵ ab是⊙o的直徑，
∴ ∠c=90°，
∵ od∥cb，∴ ∠ado=∠c=90°，
∴ ac⊥od.
(2)∵ od∥bc，o是ab的中點，
∴ d是ac的中點，
∴ .3．切線的性質及判定
涉及圓的切線的問題在各地中考中以各種題型出現，主要考查切線的識別方法、切線的特徵以及對切線的應用能力，所以應認真理解有關切線的內容，並能用來解答實際問題.
3．如圖所示，直線mn是⊙o的切線，a為切點，過a的作弦交⊙o於b、c，連線bc，證明∠nac=∠b.
思路點撥：如圖所示，過a作⊙o的直徑ad，連線dc，利用角的關係，可證明∠nac與∠b相等.
證明：過a作直徑ad，連線dc，
∴ ∠acd=90°，
∴ ∠d+∠dac= 90°.
∵ ∠b=∠d，∴ ∠b+∠dac=90°.
∵ mn是⊙o的切線，
∴ ∠nad= 90°，
∴ ∠nac=∠b.
總結昇華：已知切線，經常新增過切點的半徑或直徑，利用直徑(或半徑)與切線的垂直關係來解決問題.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，db切⊙o於點a，∠aom=66°，則∠dam
答案：147°.
解析：因為db是⊙o的切線，所以oa⊥db，由∠aom=66°，
得∠oam=，∠dam=90°+57°=147°.
【變式2】如圖所示，ab是⊙o的直徑，是⊙o的切線，c是切點，過a、b分別作的垂線，垂足分別為e、f，證明ec=cf.
思路點撥：已知是⊙o的切線，連線過切點c的半徑oc，易得ae∥oc∥bf，因為o是直徑的中點，因此，ec=cf.
解：連線oc.
∵ ef是⊙o的切線，∴oc⊥ef.
∵ af⊥ef，bf⊥ef，
∴ ae∥oc∥bf.
∵ ao=bo.∴ ec=cf.
總結昇華：利用圓心是直徑的中點，本題可證得oc為梯形aefb的中位線.進一步可得ae+bf=ab.
【變式3】如圖所示，△abc內接於⊙o，要使過點a的直線ef與⊙o相切於a點，則圖中的角應滿足的條件是只填乙個即可).
答案：∠bae=∠c或∠caf=∠b.
4．如圖所示，eb、bc是⊙o是兩條切線，b、c是切點，a、d是⊙o上兩點，如果∠e=46°，∠dcf=32°，那麼∠a的度數是
答案：99°.
解析：由eb=ec，∠e=46°知，∠ecb= 67°，從而∠bcd=180°-67°-32°=81°，
在⊙o中，∠bcd與∠a互補，所以∠a=180°-81°=99°.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，已知在△abc中，∠b=90°，o是ab上一點，以o為圓心、ob為半徑的圓與ab交於點e，與ac切於點d.求證：de∥oc；
證明：連線od, 則∠odc=90°，∠ode=∠oed，
由切線長定理得：cd=cb，
∴ rt△odc≌rt△obc，
∴ ∠cob=∠cod，
∵ ∠doe+2∠oed=180°，
又 ∠doe+2∠cob=180°，
∴ ∠oed=∠cob，
∴ de//oc
4．兩圓位置的判定
在各地中考試題中，單獨考查點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關係的題目一般多以選擇題、填空題為主，在解答題、**題中也經常作為主要考查目標，這部分內容不僅考查基礎知識，而且考查綜合運用能力.
5．填空題
(1)已知圓的直徑為13 cm，圓心到直線的距離為6cm，那麼直線和這個圓的公共點的個數是______.
(2)兩個圓內切，其中乙個圓的半徑為5，兩圓的圓心距為2，則另乙個圓的半徑是
思路點撥：(1)直線與圓的位置關係：相離、相切、相交.
判定方法有兩種：一是看它們的公共點的個數；二是比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小.實際上這兩種方法是等價的，由題意可知，圓的半徑為6.
5cm，而圓心到直線的距離6cm<6.5cm，所以直線與圓相交，有2個公共點.
(2)兩圓有三種位置關係：相交、相切(外切、內切)和相離(外離、內含).兩圓內切時，圓心距，題中一圓半徑為5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圓半徑為7或3.
答案：(1)2個； (2)7或3.
舉一反三：
【變式1】兩圓半徑分別為1和7，若它們的兩條公切線互相垂直，則它們的圓心距為_______.
答案：或或10.
【變式2】已知兩圓的圓心距為3，的半徑為1.的半徑為2，則與的位置關係為________.
答案：外切.
【變式3】在平面直角座標系中如圖所示，兩個圓的圓心座標分別是(3，0)和(0，-4)，半徑分別是和，則這兩個圓的公切線有( )
a.1條 b.2條 c.3條 d.4條
答案：c.
解析：本題借助圖形來解答比較直觀.要判斷兩圓公切線的條數，則必須先確定兩圓的位置關係，
因此必須求出兩圓的圓心距，根據題中條件，在rt△aob中，oa=4，ob=3，所以ab=5，
而兩圓半徑為和，且，即兩圓的圓心距等於兩圓的半徑之和，
所以兩圓相外切，共有3條公切線.
5．弧長的計算及其應用
6．如圖所示，在正方形鐵皮下剪下乙個圓形和扇形，使之恰好圍成圖中所示的乙個圓錐模型，設圓的半徑為r，扇形半徑為r，則圓的半徑與扇形半徑之問的關係為( )
a. b. c. d.
思路點撥：由扇形與圓恰好圍成圓錐的條件是圓的周長與扇形的弧長相等，所以，化簡即可得r=4r.
答案：d.
6．圖形面積的計算及其應用
與圓有關的圖形面積計算問題有圓的面積、扇形面積、圓柱及圓錐的側面積與全面積.考查題型以選擇題、填空題、解答題為主，考查重點是對有關公式的靈活運用.其中是不規則圖形面積的計算，應首先將其轉化為規則圖形，然後再進行.
7．瀋陽市某中學舉辦校園文化藝術節，小穎設計了同學們喜歡的圖案「我的寶貝」，圖案的一部分是以斜邊長為12cm的等腰直角三角形的各邊為直徑作的半圓，如圖所示，則圖中陰影部分的面積為( )
a. b.72 c.36 d.72
答案：c.
解析：本題解法很多，如兩個小半圓面積和減去兩個弓形面積等.
但經過認真觀察等腰直角三角形其對稱性可知，
陰影部分的面積由兩個小半圓面積與三角形面積的和減去大半圓面積便可求得，
所以由已知得直角邊為，小半圓半徑為(cm)，因此陰影部分面積為
.總結昇華：求組合圖形的面積一般要構造出易求面積的基本圖形，通過基本圖形面積的加減得出結論.
舉一反三：
【變式1】設計乙個商標圖案，如圖所示，在矩形abcd中，ab=2bc，且ab=8cm，以a為圓心、ad的長為半徑作半圓，則商標圖案(陰影部分)的面積等於( ).
a.(4π+8)cm2 b.(4π+16)cm2
c.(3π+8)cm2 d.(3π+16)cm2
答案：a.
解析：對圖中陰影部分進行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面積和差關係.
∵ 矩形abcd中，ab=2bc，ab=8cm，
∴ ad=bc=4cm，∠daf=90°，
，，又af=ad=4cm，
∴ ，∴ .
7．圓與其他知識的綜合運用
8．如圖所示，已知燈塔a的周圍7海浬的範圍內有暗礁，一艘漁船在b處測得燈塔a在北偏東60°的方向，向正東航行8海浬到達c處後，又測得該燈塔在北偏東30°的方向，漁船如果不改變方向，繼續向東航行，有沒有觸的礁危險？
思路點撥：若漁船在向東航行的過程中的每一位置到a點的距離都大於7海浬，則不會進入危險區域，所以只要計算航線上到a點最近的點與a點的距離.
解：過點a作ad⊥bc交直線bc於d，設ad=x海浬.
∵ ∠abd=90°-60°=30°，∠acd=90°-30°=60°，
∴ ab=2x，ac=2cd.
∴ ，，
∴ ，.
即.這就是說當漁船航行到點d時，在以a為圓心、以7海浬為半徑的圓形暗礁內.
所以，若不改變航向繼續向正東航行，有觸礁的危險.
總結昇華：解這類實際問題，只需求其最小值或最大值，與已知資料進行比較，從而得出正確的結論.
9．小明要在半徑為1 m、圓心角為60°的扇形鐵皮中剪取一塊面積盡可能大的正方形鐵皮，小明在扇形鐵皮上設計如圖1和圖2所示的甲、乙兩種剪取方案，請你幫小明計算一下，按甲、乙兩種方案剪取所得的正方形的面積，並估算哪個正方形的面積較大.(估算時取1.73，結果保留兩個有效數字).
思路點撥：要比較甲、乙兩方案剪取的正方形的面積大小，關鍵在於求出邊長.
解：方案甲：如圖，連線oh，設ef=x，則oe=2of，，
在rt△ogh中，oh2=gh2+og2，
即，解得.
方案乙：如圖所示，作於m，交於n，
則m、n分別是和的中點，，連線.
設，則，在中，
，即，若取，則，.
x2>y2，即按甲方案剪得的正方形面積較大.
總結昇華：此類問題是生活中的乙個實際問題，解決此類問題時，應先將實際問題轉化為數學問題.
10．已知射線of交⊙o於b，半徑oa⊥ob，p是射線of上的乙個動點(不與o、b重合)，直線ap交⊙o於d，過d作⊙o的切線交射線of於e.
(1)如圖所示是點p在圓內移動時符合已知條件的圖形，請你在圖中畫出點p在圓外移動時符合已知條
件的圖形.
(2)觀察圖形，點p在移動過程中，△dpe的邊、角或形狀存在某些規律，請你通過觀察、測量、比較寫
出一條與△dpe的邊、角或形狀有關的規律.
(3)點p在移動過程中，設∠dep的度數為x，∠oap的度數為y，求y與x的函式關係式，並寫出自變數x的
取值範圍.
思路點撥：如圖所示，連線od，因為de是⊙o的切線，故∠ode=90°，又oa=od，故∠a=∠oda，
∠oap+∠opd=90°，∠oda+∠adc=90°，故∠opd=∠adc=∠edp，△dep是等腰三角形.
解：(1)在bf上取點p，連ap交⊙o於點d，過d作⊙o切線，交of於e，如圖即為所求.
(2)∠edp=∠dpe，或ed=ep或△pde是等腰三角形.
(3)根據題意，得△pde是等腰三角形，
∴ ∠edp=∠dpe，
∴ ，在rt△oap中，，
∴ ，自變數x的取值範圍是且.
0426圓經典例題分析總結
經典例題透析 1 垂徑定理及其應用 在圓這一章中，涉及垂徑定理的有關知識點很多，如弓形中的有關計算 切線的性質 判定定理等，也是在各地中考中經常出現的乙個考點.應用垂徑定理可以進行線段的垂直 平分以及弓形面積的計算等.1 某居民小區的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面...
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