型別一：形如已知數列的前n項和的表示式，求
具體求法是，注意最後檢驗二者能否統一為乙個表示式
【例1】，已知數列的前n項和，求通項公式
【分析】方法一：
方法二：
【例2】（08年天津理科15題改編）已知數列中，首項，則數列的通項公式 ．
【解析】
【答案】
【例3】（08年江西文理5）在數列中，，，則（ ）
a． bc． d．
【解析】
【答案】a
【例4】已知數列滿足
，求數列的通項公式。
【解析】
【例5】已知數列中，首項，求數列的通項公式
【解析】此題根據式子的特徵進行配湊，構造出等比數列，即，求出k的值進而求出的通項公式
【例6】已知數列中，首項，求數列的通項公式
【解析】對進行變形化簡後，構造出等比數列求解
【例7】已知數列中，首項，求數列的通項公式
【解析】
【例8】（08年全國ⅰ理科19題）在數列中，，．
（ⅰ）設．證明：數列是等差數列；（ⅱ）求數列的前項和．
【解析】（1），，，
則為等差數列，，，．
（2）兩式相減，得
【練習題】
1，（09年浙江文第20題）已知數列中，前n項和，（i）求首項及通項公式（ⅱ）若對於任意的,成等比數列，求k的值.
2，（2023年浙江文科第17題）已知數列的前n項和為
（ⅰ）求；（ⅱ）求證數列是等比數列.
3，（2023年四川理第8題）數列的首項為， 為等差數列且 .若則，，則（ ）
（a）0 （b）3 （c）8d）11
4，（09全國卷ⅰ理第20題）在數列中，
（i）設，求數列的通項公式 （ii）求數列的前項和
5，已知數列滿足，則數列的通項公式 ．
6，已知數列滿足，求數列的通項公式。
7，已知數列滿足，求數列的通項公式。
8，已知數列中，首項，求數列的通項公式
9， 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
10，已知數列滿足，求數列的通項公式。
11，已知數列的前項和，且，求
12，已知數列的前項和，則 ．
13，數列中，，求的通項公式
【參***】
1，【解析】（ⅰ）當，
（）經驗，（）式成立，
（ⅱ）成等比數列，，
即，整理得：，
對任意的成立
2,【解析】(ⅰ)由,得
又,即,得.
當n>1時,
得所以是首項為,公比為的等比數列.
3,【解析】由已知知由疊加法
【答案】b
4,【分析】：（i）由已知有
利用累差迭加即可求出數列的通項公式: ()
（ii）由（i）知,
而是乙個典型的錯位相減法模型，
=5,【答案】
6,【解析】由得
則所以數列的通項公式為
7,【解析】：由得則所以
8,【解析】
9,【解析】兩邊除以，得，則，
故數列是以為首，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為
10,【解析】由得1則
所以數列的通項公式為
11,【解析】
12，【答案】 13，【答案】
，【例1】 已知數列的通項公式為，求數列的前項和
【解析】此數列是由這兩個數列對應的項的和組成的數列，所以分別求出它們的和然後相加即得出數列的前項和
所以【例2】已知，求的前n項和.
【解析】：由
由等比數列求和公式得1－
【例3】（2008陝西文科第20題）已知數列的首項，，…．（ⅰ）證明：數列是等比數列；（ⅱ）數列的前項和．
【解析】（ⅰ） ， ，
又，，數列是以為首項，為公比的等比數列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，即，．
設…， ① 則…，②
由①②得…，
．又…．
數列的前項和 ．
【例4】（2023年湖北理科第19題）已知數列的前n項和（n為正整數）。（ⅰ）令，求證數列是等差數列，並求數列的通項公式；（ⅱ）令，試比較與的大小，並予以證明。
【解析】（i）在中，令n=1，可得，即
當時，，
. 又數列是首項和公差均為1的等差數列.
於是.(ii)由（i）得，所以
由①-②得
於是確定的大小關係等價於比較的大小
由可猜想當證明如下：證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設
時所以當時猜想也成立綜合（1）（2），對一切的正整數，都有
證法2：當時
綜上所述，當，當時
【例5】（11年全國新課標理第17題）等比數列的各項均為正數，且（1)求數列的通項公式；
（1） 設求數列的前n項和.
【解析】本題考查等比數列的通項公式、裂項相消法求數列的和、對數的運算性質，熟練掌握等比數列的基礎知識和裂項相消法求數列和是解答好本類題目的關鍵。
（1）設數列的公比為q，由得所以。
由條件可知a>0,故。由得，所以。
故數列的通項式為an=。
（2）故
所以數列的前n項和為
【例6】（10年山東理科第18題）已知等差數列滿足：，．的前n項和為．（ⅰ）求及；
（ⅱ）令bn= (nn*)，求數列的前n項和．
【解析】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數列的和，熟練數列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵。
（ⅰ）設等差數列的公差為d，因為，，所以有
，解得，
所以；==。
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即數列的前n項和=。
【例7】已知，求的表示式
【解析】①
② 且
①+②得
【例8】，求的值
【解析】
①②∴①+②得：
【練習題】
1，（2023年浙江文第18題）已知數列的首項，通項成等差數列。求：
（ⅰ）的值；(ⅱ) 數列前n項和的公式。
2，（11年遼寧理第17題）已知等差數列滿足
（i）求數列的通項公式；（ii）求數列的前n項和．
3，（10年全國新課標ⅰ第17題）設數列滿足，
（ⅰ)求數列的通項公式：（ⅱ）令，求數列的前n項和.
4（2023年皖南八校三模理科19題）已知數列的前n項和為（1）求的通項公式；
（2）數列，求數列的前n項和；
（3）若對一切正整數n恆成立，求實數m的取值範圍。
5，（11年浙江理科第19題滿分14分）已知公差不為0的等差數列的首項為a(),設數列的前n項和為，且，，成等比數列
（1）求數列的通項公式及
（2）記，，當時，試比較與的大小.
6,已知數列前n項和，設，求數列的前n項和為
7，函式，曲線處切線與軸交點為，為正數（1）用表示（2）若，求數列的通項公式（3）設數列的前n項和，設，求數列的前n項和
8，（11年安徽理科第18題）在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作，再令，n≥1.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，求數列的前n項和.
9，函式對任意x∈r，都有
（1）求f()和的值．
（2）數列滿足：，數列是等差數列嗎？請給予證明；
（3）=, sn=32-, tn=，試比較tn與sn的大小．
【參***】
1，【解析】 （ⅰ）解：由
(ⅱ)解：
2，【解析】
（i）設等差數列的公差為d，由已知條件可得
解得故數列的通項公式為
（ii）設數列，即，
所以，當時，
所以綜上，數列
3，【解析】（1）由已知，利用累加法可求出
當所以（2）由知
.①從而.②
①-②得.
即.4，【解析】（1）由易求: 代入得
（2）數列
於是兩式相減得
即（3）∴當n=1時，
當時,即, ,所以
∴對一切正整數n，取最大值是又即
5，【解析】本題主要考查等差數列、等比數列、裂項相消法求數列的前n和、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。
（1）解：設等差數列的公差為d,由
得。因為,所以，所以，
（2）解：因為所以
因為所以
當時，，即
所以，當a＞0時，；當a＜0時，。
6，【解析】本題考查數列通項公式的求法，考查利用裂項相消法求數列前n項和
7，【解析】本題考查函式即導數知識的應用、數列通項公式和前n項和的求法
（1），即曲線處切線的斜率為，所以曲線處切線方程為
所以當，即
（2）（3）∵數列的前n項和∴，由（2）知，
所以所以①
②①-②得
即8，【解析】本題考查等比和等差數列，對數和指數的運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用基本知識解決問題的能力，創新思維能力和運算求解能力。
解：（ⅰ）設構成等比數列，其中，則
①②①×②並利用，得
（ⅱ）由題意和（ⅰ）中計算結果，知
另一方面，利用得所以
9，【解析】（1）∵，令，得，
即（2）
，以上兩式相加，得
∴， 故數列是等差數列．
（3）=， =
≤16[1+=16[1+(116(2-)
=32-= sn ∴
數列通項公式和前n項和公式的求法技巧歸納
數列通項公式和前n項和的求法 課前練習 設s n是公差為d d 0 的無窮等差數列的前n項和，則下列命題錯誤的是 a 若d 0，則數列有最大項 b 若數列有最大項，則d 0 c 若數列是遞增數列，則對任意的nn 均有s n 0 d 若對任意的nn 均有s n 0，則數列是遞增數列 一 通項公式的求法...
求數列前N項和的常用方法
核心提示 求數列的前n項和要借助於通項公式，即先有通項公式，再在分析數列通項公式的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數列的特點和規律，找到適合的方法解題。一.用倒序相加法求數列的前n項和 如果乙個數列，與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著...
等差數列及其前n項和
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