2023年全國各地數學模擬試卷（新課標）分章精編
101.已知數列的前n項為和sn，點在直線上.數列滿足
，前9項和為153.
（ⅰ）求數列、的通項公式；
（ⅱ）設，數列的前n和為tn，求使不等式對一切都成立的最大正整數k的值.
（ⅲ）設，問是否存在，使得成立？
若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
解：（ⅰ）由題意，得
故當時，
當n = 1時，，而當n = 1時，n + 5 = 6， 所以，
又，所以為等差數列，於是
而 因此，
（ⅱ）所以，由於，因此tn單調遞增，故令
（ⅲ）①當m為奇數時，m + 15為偶數.
此時，所以
②當m為偶數時，m + 15為奇數.
此時，所以（捨去）.
綜上，存在唯一正整數m =11，使得成立.
102.已知數列滿足，且。
（1）求數列的通項公式；
(2) 證明；
（3）數列是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應的項數；若不存在，說明理由。
解：（1）由得
由一元二次方程求根公式得∵
∴ (2) ∵∴＝∵
∴（其它證法請參照給分）
（3）解法1：∵ ∴
＝∵,∴∴，∵
∴即∴數列有最大項，最大項為第一項。
〔解法2：由知數列各項滿足函式
∵ 當時，
∴當時，即函式在上為減函式
即有∴數列有最大項，最大項為第一項。]
103.已知二次函式同時滿足：①不等式≤0的解集有且只有乙個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立，設數列｛｝的前項和．
（1）求函式的表示式；
(2) 設各項均不為0的數列｛｝中，所有滿足的整數的個數稱為這個數列｛｝的變號數，令（）,求數列｛｝的變號數；
（3）設數列｛｝滿足：，試**數列｛｝是否存在最小項？若存在，求出該項，若不存在，說明理由．
解（１）∵不等式≤0的解集有且只有乙個元素∴ 解得或
當時函式在遞增，不滿足條件②
當時函式在（０，２）上遞減，滿足條件②
綜上得，即
（２）由（１）知
當時，；當≥２時＝＝
∴ 由題設可得
∵，，∴，都滿足
∵當≥３時，
即當≥３時，數列｛｝遞增，
∵，由，可知滿足
∴數列｛｝的變號數為３。
（３）∵＝, 由（２）可得：
＝＝∵當時數列｛｝遞增，∴當時，最小, 又∵，
∴數列｛｝存在最小項
〔或∵＝,由（２）可得：
＝對於函式 ∵
∴函式在上為增函式，∴當時數列｛｝遞增，∴當時，最小，
又∵， ∴數列｛｝存在最小項
104.為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由於不慎將部分資料丟失，但知道前4組的頻數從左到右依次是等比數列的前四項，後6組的頻數從左到右依次是等差數列的前六項.
(1)求數列和的通項公式；
(2)求視力不小於5.0的學生人數；
(3)設,
求數列的通項公式.
解:(1)由題意知
因此數列是乙個首項.公比為3的等比數列，所以又=100—(1+3+9)所以=87,解得
因此數列是乙個首項,公差為—5的等差數列,所以
(2) 求視力不小於5.0的學生人數為
(3) 由①可知，當時， ②
①-②得，當時， , ,又因此數列是乙個從第2項開始的公比為3的等比數列,
數列的通項公式為
105.已知曲線過上一點作一斜率為的直線交曲線於另一點，點列的橫座標構成數列，其中．
（i）求與的關係式；
（ii）令，求證：數列是等比數列；
（iii）若（λ為非零整數，n∈n*），試確定λ的值，使得對任意n∈n*,都有cn+1＞cn成立。
(1) 解：過的直線方程為
聯立方程消去得
∴ 即
（2）∴是等比數列 ，;
（iii）由（ii）知，，要使恆成立由
=＞0恆成立，
即（－1）nλ＞-（）n－1恆成立．
ⅰ。當n為奇數時，即λ<（）n－1恆成立．又（）n－1的最小值為1．∴λ<1．
ⅱ。當n為偶數時，即λ>－（）n-1恆成立，又－（）n－1的最大值為－，∴λ>－．即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數，∴λ＝－1，使得對任意n∈n*,都有．
106.過點p（1，0）作曲線的切線，切點為m1，設m1在x軸上的投影是點p1。又過點p1作曲線c的切線，切點為m2，設m2在x軸上的投影是點p2，…。
依此下去，得到一系列點m1，m2…，mn，…，設它們的橫座標a1，a2，…，an，…，構成數列為。
（1）求證數列是等比數列，並求其通項公式；
（2）求證：；
（3）當的前n項和sn。
解：（1）對求導數，得的切線方程是
當n=1時，切線過點p（1，0），即0
當n>1時，切線過點，即0
所以數列
所以數列
（2）應用二項公式定理，得
（3）當，
同乘以兩式相減，得
所以 107.已知單調遞增的等比數列｛an｝滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項。
（i） 求數列｛an｝的通項公式;
（ii） 若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n>50成立的正整數 n的最小值。
解：(i)設等比數列的首項為a1，公比為q，依題意，有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,∴a2+a4=20
∴解之得或又單調遞增，∴q=2,a1=2,∴an=2n
(ii),
∴ ②
∴①-②得＝┉
∴即又當n≤4時,,
當n≥5時,. 故使成立的正整數n的最小值為5 .
108.已知等比數列的前項和為
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設數列滿足，為數列的前項和，試比較與的大小，並證明你的結論．
解：（ⅰ）由得:時，
是等比數列，，得
（ⅱ）由和得
當或時有，所以當時有
那麼同理可得：當時有，所以當時有
綜上：當時有；當時有
109.已知數列的各項均為正數，為其前項和，對於任意的，滿足關係式
（i）求數列的通項公式；
（ⅱ）設數列的通項公式是，前項和為，求證：對於任意的正整數，總有
解：（i）由已知得故
即故數列為等比數列，且
又當時， 而亦適合上式
（ⅱ） 所以
110.已知數列｛a｝中，，點在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(i) 令，求證數列｛b｝是等比數列；
(ii) 球數列的通項
解：（i）
又111.設數列
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列
解：（1）
是首項為的等比數列
當仍滿足上式。
（2）由（1）得，當時，
兩式作差得
112.已知等差數列中，，前項和．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足，記數列的前項和為，若不等式
對所有恆成立，求實數的取值範圍．
解：（ⅰ）設等差數列的公差為，∵,，
∴，即.∴.
所以數列的通項公式.
當≥時，,
∴ 數列是等比數列，首項，公比．
∴．∵，
又不等式恆成立，
而單調遞增，且當時，，∴≥.
113.設等差數列的前n項和為，且（c是常數，n*），.
（ⅰ）求c的值及的通項公式；（ⅱ）證明：.
（ⅰ）解：因為，所以當時，，解得，
當時，，即，解得，
所以，解得； 則，數列的公差，
所以.（ⅱ）因為
. 因為， 所以 .
114.在等比數列中，，公比，且，a3與a5的等比中項為2。
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前n項和為sn，當最大時，求n的值。
解：（1），
又， 又的等比中項為2，，
而，，（2）， ，
為首項，－1為公差的等差數列。，
；當；當，
最大。115.已知數列的前項之和為，點在直線上，數列滿足
()。（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項之和；
（3）是否存在常數，使數列是等比數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
（1）由已知條件得=2n+1∴n=n(2n+1) . 當n=1時,a1=s1=3; 當n≥2時,
an=sn-sn-1=4n-1∵a1符合上式∴an=4n-1;
（2）∵ ∴
∴∴bn=4×3n+1∴tn=6(3n-1)+n;
(3)設，假設存在常數p(p≠-1)使數列為等比數列,則有解得p=-81當p=-81時，不存在，∴不存在常數(p≠-1)使數列為等比數列.
116.把公差為2的等差數列的各項依次插入等比數列中，將按原順序分成1項、2項、4項、……、項的各組，得到數列：，……，記數列的前項和為，已知，， ．
（1）求數列、的通項公式；
（2）求數列的第100項；
（3）設，閱讀框圖寫出輸出項，並說明理由．
【解】（1）由題意，，，，故-
所以，（2）數列與、相關的項數有規律：
== 當6時，即=，故所以：
（3）由於所以
=當時遞增；當時遞減
通過計算
所以滿足條件的項只有三項，， -
117.己知公差不為零的等差數列的前項和為，數列滿足：且與的等比中項為，等差中項為．
(1)求數列和的通項公式
(2)對數列，是否還存在三個數，，t且中有兩個為偶數，乙個為奇數)，使與的等比中項為，等差中項為．若不存在，說明理由；若存在，構造出兩組滿足上述條件的三個數．
解：(1) 設的首項為，公差為，則
由可知 ①
由可知，（ ②
由①②可得 ，
（2）不存在
證明如下： 由可知 ③
由可知④
④中為奇數，乙個偶數乙個奇數，又中兩個為偶數，乙個奇數為偶數，又由③可知成立
118.設數列的前項和為，如果對於任意的，點都在函式的影象上，且過點的切線斜率為，
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前前項和.
解：由題意得：，
（1）且≥，可得
∴當時，數列的通項公式為.
（2）由題意過點的切線斜率為，則
數列為等差數列，即
數列的前項和為.
高考數學解答題專題攻略 數列
2009高考數學解答題專題攻略 數列 一 08高考真題精典回顧 1.全國一22 本小題滿分12分 設函式 數列滿足，證明 函式在區間是增函式 證明 設，整數 證明 解析 證明 故函式在區間 0,1 上是增函式 證明 用數學歸納法 i 當n 1時，由函式在區間是增函式，且函式在處連續，則在區間是增函式...
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經典證明解答題 相似 二 6.如圖,等腰三角形abc中,ab ac,d為cb延長線上一點,e為bc延長線上點,且滿足ab2 db ce.1 求證 adb eac 2 若 bac 40 求 dae的度數 1證明 ab2 db ce ab db ce ab ab ac ac db ce ab 又 dba...
數學 數列 2023年全品高考猜題 解答題
姓名 焦宇命題人工作單位 陝西省西安中學 本人承諾 本文屬本人原創作品，本文著作權授予 北京全品考試書店 北京全品教育科技中心 獨家所有，本人擁有署名權。試題題幹 本小題滿分12分 設數列的各項都是正數，且對任其中為數列的前n項和.1 求證 2 求數列的通項公式 理科做，文科不做 3 設為非零整數，...