2023年全國名校高考專題訓練
12導數與極限
三、解答題(第一部分)
1、(廣東省廣州執信中學、中山紀念中學、深圳外國語學校三校期末聯考)設函式
（ⅰ）求函式的極值點；
（ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有，求p的取值範圍；
（ⅲ）證明：
解：（1），
當上無極值點
當p>0時，令的變化情況如下表：
從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點
（ⅱ）當p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，
要使恆成立，只需， ∴
∴p的取值範圍為[1，+∞
（ⅲ）令p=1，由（ⅱ）知，∴，∴
∴∴結論成立
2、(江蘇省啟東中學2023年高三綜合測試一)已知上是減函式，且。
（1）求的值，並求出和的取值範圍。
（2）求證。
（3）求的取值範圍，並寫出當取最小值時的的解析式。
解：（1）
（2）（3）3、(江蘇省啟東中學高三綜合測試三)已知函式f(x)=x3+ax2+b的圖象在點p(1,0)處的切線與直線3x+y=0平行，
(1)求常數a、b的值；
(2)求函式f(x)在區間[0,t]上的最小值和最大值。（t>0）
解：（1）a=－3，b=2；（2）當23時，f(x)的最大值為f(t)=t3－3t2+2；當x=2時，f(x)的最小值為f(2)=－2。
5、(江蘇省啟東中學高三綜合測試四)已知（m為常數，且m>0）有極大值，
（ⅰ）求m的值；
（ⅱ）求曲線的斜率為2的切線方程．
解：（ⅰ）
則，由列表得：
，∴．（ⅱ）由（ⅰ）知，則
∴或由，．所以切線方程為：即；
或即4、(安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯考)已知函式且是的兩個極值點，，
（１）求的取值範圍；
（２）若，對恆成立。求實數的取值範圍；
解：（1），由題知：；
（2）由（1）知：，
∴對恆成立，所以：
5、(江西省五校2008屆高三開學聯考)已知函式
（i）求f(x)在[0，1]上的極值；
（ii）若對任意成立，求實數a的取值範圍；
（iii）若關於x的方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值範圍.
解：（i），
令（捨去）
單調遞增；
當單調遞減.
上的極大值
（ii）由得
， …………①設，，
依題意知上恆成立，，，
上單增，要使不等式①成立，
當且僅當
（iii）由
令，當上遞增；
當上遞減
而，恰有兩個不同實根等價於
6、(安徽省蚌埠二中2008屆高三8月月考)求下列各式的的極限值
答：① ②
7、(四川省巴蜀聯盟2008屆高三年級第二次聯考)設f（x）=（a>0）為奇函式，且|f（x）|min=，數列與滿足如下關係：a1=2，，．
（1）求f（x）的解析表示式；
（2）證明：當n∈n*時， 有bn≤．
解：（1）由f（x）是奇函式，得 b=c=0，由|f（x）min|=，得a=2，故f（x）=
（2）∴===…=，而b1=，∴=
當n=1時， b1=，命題成立，
當n≥2時，∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋≥1+=n
∴＜，即 bn≤．
8、(四川省成都市新都一中高2008級一診適應性測試)設 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2（e為自然對數的底數）
（1）求 p 與 q 的關係；
（2）若 f (x) 在其定義域內為單調函式，求 p 的取值範圍；
解：(i) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2
(p－q) (e +) = 0而 e +≠0
∴ p = q ………… 4分
(ii) 由 (i) 知 f (x) = px－－2ln x
f』(x) = p +－=
令 h(x) = px 2－2x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+) 內為單調函式，只需 h(x) 在 (0,+) 內滿足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恆成立．
① 當 p = 0時， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f』(x) = －< 0，
∴ f (x) 在 (0,+) 內為單調遞減，故 p = 0適合題意．
② 當 p > 0時，h(x) = px 2－2x + p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為 x =∈(0,+)，∴ h(x)min = p－
只需 p－≥1，即 p≥1 時 h(x)≥0，f』(x)≥0
∴ f (x) 在 (0,+) 內為單調遞增，
故 p≥1適合題意．
③ 當 p < 0時，h(x) = px 2－2x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = (0,+)
只需 h(0)≤0，即 p≤0時 h(x)≤0在 (0,+) 恆成立．
故 p < 0適合題意11分
綜上可得，p≥1或 p≤0 ………… 12分
另解：(ii) 由 (i) 知 f (x) = px－－2ln x
f』(x) = p +－= p (1 +)－
要使 f (x) 在其定義域 (0,+) 內為單調函式，只需 f』(x) 在 (0,+) 內滿足：f』(x)≥0 或 f』(x)≤0 恆成立6分
由 f』(x)≥0 p (1 +)－≥0 p≥ p≥()max，x > 0
∵ ≤= 1，且 x = 1 時等號成立，故 ()max = 1
∴ p≥1 ………… 9分
由 f』(x)≤0 p (1 +)－≤0 p≤ p≤()min，x > 0
而》 0 且 x → 0 時，→ 0，故 p≤0 ………… 11分
綜上可得，p≥1或 p≤0
9、(四川省成都市一診)已知函式,,設．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）若以函式影象上任意一點為切點的切線的斜率恆成立，求實數的最小值；
（ⅲ）是否存在實數m,使得函式的影象與函式的影象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值範圍；若不存在，說明理由。
解：（i），
∵，由，∴在上單調遞增。
由，∴在上單調遞減。
∴的單調遞減區間為，單調遞增區間為。
（ii），
恆成立當時，取得最大值。
∴，∴（iii）若的圖象與的圖象恰有四個不同得交點，即有四個不同的根，亦即有四個不同的根。令，則
當x變化時，、的變化情況如下表：
由**知：，
畫出草圖和驗證可知，當時，與恰有四個不同的交點。
∴當時，的圖象與的圖象恰有四個不同的交點。
10、(四川省樂山市2008屆第一次調研考試)已知函式
①若函式在處取得極值－2，試求的值；
②若時，函式存在單調遞減區間，求實數的取值範圍；
③設的圖象與的圖象交於p，q兩點，過線段pq的中點作平行於y軸的直線，分別與交於m、n兩點，試判斷在m的切線與在n的切線是否平行？
答：①；②；③略，在m的切線與在n的切線不可能平行。
11、(四川省成都市新都一中高2008級12月月考)設函式，，
其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)．
(1)求g(t)的表示式；
(2)對於區間[－1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．
解析：(1)
由(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故當sinx＝t時，f(x)有最小值g(t)，即
g(t)＝4t3－3t＋3．
(2)我們有．
列表如下：
由此可見，g(t)在區間(－1，－)和(，1)單調增加，在區間(－，)單調減小，極小值為g()＝2，
又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2
故g(t)在[－1，1]上的最小值為2
注意到：對任意的實數a，＝∈[－2，2]
當且僅當a＝1時，＝2，對應的t＝－1或，
故當t＝－1或時，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.
而當t∈(－1，1]且t≠時，這樣的a不存在.
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