第一章集合

2023-02-02 00:30:04 字數 3491 閱讀 7630

1. 集合a=,3,4},b=},判定下列各題的正確與錯誤:

(1)∈a ; (2)∈b; (3) ,4}a;(4)b;

(5)a; (6)b; (7); (8)}a;

(9){}b; (10)∈,3}.

解:(1)不正確。因為是集合,集合與集合之間一般不能有屬於關係。

(2)正確。雖然是集合,但是它又是b中的元素。

(3)正確。雖然,4}是a的真子集,但是同時滿足子集定義,故可以這樣表示。

(4)不正確。因為cb。

(5)不正確。雖然是乙個集合,但是它只是a中的乙個元素,不能有包含關係。

(6)不正確。理由同(5)。

(7)正確,符合定義。

(8)正確,都符合定義。

(9)不正確,因為b中本沒有元素。

(10)不正確。不是,3}是中的元素,不能有屬於關係,若寫成,3}則可以。

2.確定下列集合的冪集:

(1) a=}; (2)b=};

(2) c=}; (4)d=。

解 (1)因為a的所有子集為,,},},所以

(2)因為b的所有子集為,,}和}。所以

(3) 因為c的所有子集為,{},,},,},},},所以

(4) 因為d的子集為,{},所以

說明欲求乙個給定集合的冪集合,首先把這個給定集合的所有子集列出,並檢驗所列子集的個數是否等於個,n為給定集合的元數,當然,熟練者可以省略這一步驟.

2. 判定以下論斷哪些是恆成立的?哪些是恆不成立的?哪些是有時成立的?

(1) 若a∈a,則a∈a∪b;

(2) 若a∈a,,則a∈a∩b;

(3) 若a∈a∪b,則a∈a;

(4) 若a∈a∩b,則a∈b;

(5) 若aa,則a∈a∪b;

(6) 若aa,則a∈a∩b;

(7) 若,則a∩b=a;

(8) 若,則a∩b=b.

解 (1)恆成立.因為a a∪b,若a∈a,則a∈a∪b.

(2)有時成立.若a∈a,但a∩b;若a∈a,且a∈b,則a∈a∩b.

(3)有時成立.若a∈a∪b,可能有三種情形: a∈a但對於第

一、三種情形,有a∈a,但是第二種情形,。

(4)恆成立。因為a∈a∩b,必有a∈a,且a∈b。

(5) 有時成立。雖然,但是,有a∈b或兩種可能,若,則a∪b;若a∈b,有a∈a∪b。

(6) 恆不成立。因為,即使a∈b,也有a∩b,若,更有a∩b。

(7) 恆成立。當,a是b的子集,當然滿足a∩b=a。

(8) 有時成立。既然,就有兩種可能:a=b或者ab。若a=b,則a∩b=b成立;若ab,則a∩b=b就不成立。

4.設全集合e=,a=,b=,c=,求下列集合:

(1) a∩~b; (2)(a∩b)∪~c;

(3)~a∪(b-c);(4)

解 (1)a∩~b=∩=.

(2) (a∩b)∪~c=∪=.

(3) ~a∪(b-c)=∪=.

(4) =,,}.

=,,,,,,}

故 =}.

5. 設a和b是全集e的子集,利用運算律證明:

(1) (a∩b) ∪(a∩~b)=a;

(2) b∪~((~a∪b) ∩a)=e.

證 (1) (a∩b) ∪(a∩~b)=a∩(b∪~b)=a∩e=a

(3) b∪~((~a∪b) ∩a)

=b∪~((~a ∩a) ∪(b∩a分配律)

=b∪~(∪(b∩a互補律)

=b∪~(b∩a同一律)

=b∪(~b∪~a德·摩根律)

=(b∪~b)∪~a結合律)

=e∪~a互補律)

=e.說明利用運算律證明集合恒等式時,後面的運算律名稱不一定要求寫,只是剛開始做這種型別題時標一下,目的在於熟悉理解運算律內容,稍加熟練後便可以不寫.

6. 設a,b,c 是三個任意集合,求證:

(1) (a∪b)∩(b∪c)∩(c∪a)=(a∩b)∪(b∩c)∪(c∩a);

(2) (a∪b)∩(b∪c)∩(c∪a)= (a∩b)∪(~a∩b∩c)∪(a∩~b∩c).

證(1) (a∪b)∩(b∪c)∩(c∪a)

=(( a∪b)∩(c∪b))∩(a∪c)

=((a∩c)∪b)∩(a∪c)

=((a∩c)∩(a∪c)∪(b∩(a∪c))

=(( a∩c∩a)∪(a∩c∩c)∪(b∩a)∪(b∩c)

=(a∩c)∪(b∩a)∪(b∩c)

=(a∩b)∪(b∩c)∪(c∩a)

(3) (a∩b)∪(~a∩b∩c)∪(a∩~b∩c)

=(a∩b)∪(((~a∩b) ∪(a∩~b)) ∩c)

=(a∩b)∪(((~a∪a)∩(~a∪~b)∩(b∪a)∩(b∪~b))∩c)

=(a∩b)∪((~(a∩b)∩(a∪b)∩c)

=((a∩b)∪(~(a∩b))∩((a∩b)∩(a∪b))∩((a∩b)∪c)

=((( a∩b)∪a)∪b)∩((a∪c)∩(b∪c))

=(a∪b)∩(b∪c)∩(a∪c).

7. 利用a-b=a∩~b與吸收律及其它運算律,證明

(((a∪b∪c)∩(a∪b))-((a∪(b-c))∩a)=~a∩b

證 (((a∪b∪c)∩(a∪b))-((a∪(b-c))∩a)

=((a∪b)∩((a∪b)∪c))-((a∪(b-c))∩a)

=(a∪b)-((a∪b)∩(a∪~c)∩a)

=(a∪b)-(a∩(a∪b)∩(a∪~c)

=(a∪b)-(a∩(a∪~c))

=(a∪b)-a

=(a∪b)∩~a

=(a∩~a)∪(b∩~a)

=∪(~a∩b)

=~a∩b.

說明本題證明過程中的第二步、第四步、第五步應用了吸收律,才使運算簡便,否則將很繁雜。

8.設a,b,c為三個任意集合,試證明

(1) 若a×a=b×b,則a=b;

(2) 若a×b=a×c,且a≠,則b=c.

證 (1)設任意a∈a,則(a,a)∈a×a,因為a×a=b×b,有(a,a)∈b×b,故a∈b,因此.

對任意b∈b,有(b,b)∈b×b,則(b,b)∈a×a,於是b∈a,因此ba,所以a=b.

(2) 若b=,則a×b=,因為a×b==a×c,於是a×c=,而a=,只有c=,故b=c.

若b≠,設任意b∈b,因為a≠,再設a∈a,則(a,b) ∈a×b,又因為a×b==a×c,則(a,b)∈a×c,於是b∈c,所以bc.

同理可證cb,故b=c.

說明在每一節後面的證明題,若不能應用本節給出的定理,一般要考慮用定義證明.

8. 在具有x和y軸的笛卡爾座標系中,若有x=,y=,試求出笛卡爾積x×y,y×x,畫出其影象.

解 x×y=

y×x=

x×y與y×x的影象如圖1-1所示的陰影部分.

說明對於笛卡爾積y×x的影象,從(y,x)∈y×x,點(y,x)要求第一元素為該點的橫座標,第二元素為該點的縱座標,所以將圖1-1中右圖表示兩軸的字母換成y,x.

圖 1—1

第一章集合

第一章集合與函式概念 1.1集合的含義及其表示 題型一 是否構成集合的判斷題 例1 考查下列每組物件能否構成乙個集合 1 著名的數學家 2 高一 3 班所有高個子同學 3 不超過20的非負數 4 方程在實數範圍內的解 5 直角座標平面內第一象限的一些點 6 的近似值的全體。題型二 集合三要素的有關問...

第一章集合教案

第一章集合與函式 1.1.1集合的含義與表示 一.教學目標 l.知識與技能 1 通過例項,了解集合的含義,體會元素與集合的屬於關係 2 知道常用數集及其專用記號 3 了解集合中元素的確定性.互異性.無序性 4 會用集合語言表示有關數學物件 5 培養學生抽象概括的能力.2.過程與方法 1 讓學生經歷從...

第一章集合 章節小結

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