高考專題訓練(二十) 推理與證明、演算法初步、複數(理)
高考專題訓練(十八) 推理與證明、演算法初步、複數(文)
a級——基礎鞏固組
一、選擇題
1．(2014·安徽卷)如圖所示，程式框圖(演算法流程圖)的輸出結果是( )
a．34 b．55
c．78 d．89
解析由程式框圖知依次為：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故輸出55.
答案 b
2．(2014·北京卷)當m＝7，n＝3時，執行如圖所示的程式框圖，輸出的s值為( )
a．7 b．42
c．210 d．840
解析開始：m＝7，n＝3.
計算：k＝7，s＝1.
第一次迴圈，此時m－n＋1＝7－3＋1＝5，
顯然k<5不成立，
所以s＝1×7＝7，k＝7－1＝6.
第二次迴圈，6<5不成立，
所以s＝7×6＝42，k＝6－1＝5.
第三次迴圈，5<5不成立，
所以s＝42×5＝210，k＝5－1＝4.
顯然4<5成立，輸出s的值，即輸出210，故選c.
答案 c
3．若複數z滿足iz＝2＋4i，則在復平面內，z對應的點的座標是( )
a．(2,4) b．(2，－4)
c．(4，－2) d．(4,2)
解析由iz＝2＋4i得：z＝＝＝4－2i，對應點為(4，－2)，故選c.
答案 c
4．若複數z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為( )
a．－4 b．－
c．4 d.
解析 |4＋3i|＝＝5，所以(3－4i)z＝5，即z＝＝＝＋i，所以z的虛部為，故選d.
答案 d
5．下列推理中屬於歸納推理且結論正確的是( )
a．設數列的前n項和為sn，由an＝2n－1，求出s1＝12，s2＝22，s3＝32，…，推斷：sn＝n2
b．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對x∈r都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函式
c．由圓x2＋y2＝r2的面積s＝πr2，推斷：橢圓＋＝1(a>b>0)的面積s＝πab
d．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推斷：對一切n∈n*，(n＋1)2>2n
解析注意到，選項a由一些特殊事例得出一般性結論，且注意到數列是等差數列，其前n項和等於sn＝＝n2，選項d中的推理屬於歸納推理，但結論不正確．因此選a.
答案 a
6．模擬「兩角和與差的正弦公式」的形式，對於給定的兩個函式：s(x)＝ax－a－x，c(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正確的運算公式是( )
①s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；②s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)；③2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；④2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)．
a．①② b．③④
c．①④ d．②③
解析經驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2s(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又s(x)c(y)＋c(x)s(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；同理有2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)，綜上所述，選b.
答案 b
二、填空題
7．(2014·江蘇卷)下圖是乙個演算法流程圖，則輸出的n的值是________．
解析本題實質上是求不等式2n>20的最小整數解，2n>20的整數解為n≥5，因此輸出的n＝5.
答案 5
8．已知複數z＝1－i，則
解析 ＝＝z－1－＝(－i)－＝－i－＝－2i.
答案 －2i
9．觀察下列等式：
＋＝1；
＋＋＋＝12；
＋＋＋＋＋＝39；
……則當m最後結果用m，n表示)．
解析由＋＝1，知m＝0，n＝1,1＝12－02；
由＋＋＋＝12，
知m＝2，n＝4,12＝42－22；
由＋＋＋＋＋＝39，
知m＝5，n＝8,39＝82－52；
……依此規律可歸納，＋＋＋＋…＋＋＝n2－m2.
答案 n2－m2
三、解答題
10．已知複數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，複數z2的虛部為2，且z1·z2是實數，求z2.
解 ∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝2－i.
設z2＝a＋2i，a∈r，
則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈r，
∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
11．等差數列的前n項和為sn，a1＝1＋，s3＝9＋3.
(1)求數列的通項an與前n項和sn；
(2)設bn＝(n∈n*)，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
解 (1)由已知得
∴d＝2，
故an＝2n－1＋，sn＝n(n＋)．
(2)證明：由(1)得bn＝＝n＋.
假設數列中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈n*，
∴∵2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r.
與p≠r矛盾．
所以數列中任意不同的三項都不可能成等比數列．
b級——能力提高組
1．若數列是等差數列，則數列
也為等差數列．模擬這一性質可知，若正項數列是等比數列，且也是等比數列，則dn的表示式應為( )
a．dn＝
b．dn＝
c．dn＝
d．dn＝
解析若是等差數列，
則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，
即為等差數列；
若是等比數列，
則c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，
即為等比數列，故選d.
答案 d
2．(2014·湖北卷)設a是乙個各位數字都不是0且沒有重複數字的三位數，將組成a的3個數字按從小到大排成的三位數記為i(a)，按從大到小排成的三位數記為d(a)(例如a＝815，則i(a)＝158，d(a)＝851)．閱讀如圖所示的程式框圖，執行相應的程式，任意輸入乙個a，輸出的結果b
解析不妨取a＝815，則i(a)＝158，d(a)＝851，b＝693；
則取a＝693，則i(a)＝369，d(a)＝963，b＝594；
則取a＝594，則i(a)＝459，d(a)＝954，b＝495；
則取a＝495，則i(a)＝459，d(a)＝954，b＝495.
故輸出結果b＝495.
答案 495
3．根據如圖所示的程式框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….
(1)分別求數列和的通項公式；
(2)令zk＝xkyk，求數列的前k項和tk，其中k∈n*，k≤2 007.
解 (1)由程式框圖，知數列中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，
∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈n*，k≤2 007)．
由程式框圖，知數列中，yk＋1＝3yk＋2，
∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)．
∴＝3，y1＋1＝3.
∴數列是以3為首項，3為公比的等比數列．
∴yk＋1＝3·3k－1＝3k.
∴yk＝3k－1(k∈n*，k≤2 007)．
(2)tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]．
記sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k，①
則3sk＝1×32＋3×33＋…＋(2k－1)·3k＋1，②
①－②，得－2sk＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k－1)·3k＋1
＝2(3＋32＋…＋3k)－3－(2k－1)·3k＋1
＝2×－3－(2k－1)·3k＋1
＝3k＋1－6－(2k－1)·3k＋1
＝2(1－k)·3k＋1－6，
∴sk＝(k－1)·3k＋1＋3.
又∵1＋3＋…＋(2k－1)＝＝k2，
∴tk＝(k－1)·3k＋1＋3－k2.
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