河南省盧氏一中2012屆高考數學二輪專題訓練《演算法初步、複數、推理與證明》
一、選擇題
1．(2011·濟南模擬)i為虛數單位，復平面內表示複數z＝的點在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限d．第四象限
解析：因為z＝＝＝＝－－i，所以其在復平面上對應的點為(－，－)，在第三象限．
答案：c
2．(2011·天津高考)i是虛數單位，複數＝( )
a．2－ib．2＋i
c．－1－2id．－1＋2i
解析：＝＝＝2－i，故選a.
答案：a
3．(2011·江西高考)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 011的末兩位數字為( )
a．01b．43
c．07d．49
解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543,78＝5 764 801，…
∴7n(n∈z，且n≥5)的末兩位數字呈週期性變化，且最小正週期為4，記7n(n∈z，且n≥5)的末兩位數為f(n)，則f(2 011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72 011與73的末兩位數相同，均為43.
答案：b
4．(2011·天津高考)閱讀下邊的程式框圖，執行相應的程式，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為( )
[ : ]
a．0.5b．1
c．2d．4
解析：由框圖可知：x＝－4，|x|＞3，x＝|－4－3|＝7；x＝7，|x|＞3，x＝|7－3|＝4；x＝4，|x|＞3，x＝|4－3|＝1＜3，y＝21＝2.
答案：c
5．(2011·廣州模擬)如果執行如圖所示的程式框圖，如果輸入n＝6，m＝4，那麼輸出的p等於( )
a．720b．360
c．240d．120
解析：程式執行如下：n＝6，m＝4，k＝1，p＝1，p＝p(n－m＋k)＝6－4＋1＝3，k答案：b
6．(2011·濰坊質檢)在平面幾何中有如下結論：若正三角形abc的內切圓面積為s1，外接圓面積為s2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結論：
若正四面體a－bcd的內切球體積為v1，外接球體積為v2，則＝( )
ab.cd.
解析：平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，設正四面體a－bcd的稜長為a，可得其內切球的半徑為a，外接球的半徑為a，∴＝.
答案：d
二、填空題
7．(2011·濰坊模擬)執行如圖所示的程式框圖，若輸出的結果是62，則判斷框中整數m的值是
解析：因為0＋21＋22＋23＋24＋25＝＝62，結合題中所給的框圖可知，m＝4.
答案：4
8.現有乙個關於平面圖形的命題：如圖，同乙個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.
模擬到空間，有兩個稜長均為a的正方體，其中乙個的某頂點在另乙個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
解析：應該是乙個常數，因此考慮極端情況，即兩正方體重疊部分恰好構成乙個稜長為的正方體，這個小正方體的體積為.
答案：9．(2011·陝西高考)觀察下列等式
1＝12＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此規律，第5個等式為________．
解析：每行最左側數分別為1、2、3、…，所以第n行最左側的數應為n；每行數的個數分別為1、3、5、…，所以第n行的個數應為2n－1.所以第5行數依次是5、6、7、…、13，其和為5＋6＋7＋…＋13＝81.
答案：5＋6＋7＋…＋13＝81
三、解答題
10．(2011·上海高考)已知複數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，複數z2的虛部為2，且z1·z2是實數，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝2－i.
設z2＝a＋2i，a∈r，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈r，∴a＝4，
∴z2＝4＋2i.
11．等差數列的前n項和為sn，a1＝1＋，s3＝9＋3.
(1)求數列的通項an與前n項和sn；
(2)設bn＝(n∈n*)，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
解：(1)由已知得[ :]
∴d＝2，故an＝2n－1＋，sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假設數列中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則b＝bpbr.
即 (q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈n*，∴
∴()2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.
與p≠r矛盾．
∴數列中任意不同的三項都不可能成等比數列．
12．數列滿足sn＝2n－an(n∈n*)．
(1)計算a1，a2，a3，a4，並由此猜想通項公式an；
(2)用數學歸納法證明(1)中的猜想．
解：(1)當n＝1時，a1＝s1＝2－a1，∴a1＝1.
當n＝2時，a1＋a2＝s2＝2×2－a2，∴a2＝.
當n＝3時，a1＋a2＋a3＝s3＝2×3－a3，∴a3＝.
當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝s4＝2×4－a4，
∴a4＝.
由此猜想an＝(n∈n*)．
(2)證明：①當n＝1時，a1＝1，結論成立．
②假設n＝k(k≥1且k∈n*)時，結論成立，即ak＝，
那麼n＝k＋1時，
ak＋1＝sk＋1－sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.
∴2ak＋1＝2＋ak，
∴ak＋1＝＝＝，
這表明n＝k＋1時，結論成立，
由①②知猜想an＝(n∈n*)成立．
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