專題檢測（六） 複數、演算法、推理與證明
一、選擇題
1．(2017·全國卷ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數的是( )
a．i(1＋i)2b．i2(1－i)
c．(1＋i)2 d．i(1＋i)
解析：選c a項，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數；b項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數；
c項，(1＋i)2＝2i,2i是純虛數；
d項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數．
2．(2017·石家莊質檢)在復平面內，複數＋i4對應的點在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
解析：選d 因為＋i4＝＋1＝＋1＝－i，所以其在復平面內對應的點為，位於第四象限．
3．(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；
(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬於( )
a．模擬推理、歸納推理 b．模擬推理、演繹推理
c．歸納推理、模擬推理 d．歸納推理、演繹推理
解析：選a (1)由三角形的性質得到扇形的性質有相似之處，此種推理為模擬推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理．
4．(2017·成都一診)執行如圖所示的程式框圖，如果輸出的結果為0，那麼輸入的x為( )
a. b．－1或1
c．1 d．－1
解析：選b 當x≤0時，由－x2＋1＝0，得x＝－1；當x>0時，第一次對y賦值為3x＋2，第二次對y賦值為－x2＋1，最後y＝－x2＋1，於是由－x2＋1＝0，得x＝1，綜上知輸入的x值為－1或1.
5．(2017·全國卷ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看後甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上資訊，則( )
a．乙可以知道四人的成績
b．丁可以知道四人的成績
c．乙、丁可以知道對方的成績
d．乙、丁可以知道自己的成績
解析：選d 依題意，四人中有2位優秀，2位良好，由於甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優秀，1位良好，甲、丁必有1位優秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績後，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績後，必然知道自己的成績，因此選d.
6．(2017·石家莊一模)若z是複數，z＝，則z·＝( )
a. b.
c．1 d.
解析：選d 因為z＝＝＝－－i，所以＝－＋i，
所以z·＝＝.
7．(2018屆高三·蘭州診斷考試)圖中的程式框圖的演算法思路**於我國古代數學名著《九章算術》中的「更相減損術」，執行該程式框圖，若輸入a，b，i的值分別為6,8,0，則輸出的i＝( )
a．3 b．4
c．5 d．6
解析：選b 執行程式框圖，可得a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不滿足a>b，不滿足a＝b，b＝8－6＝2；i＝2，滿足a>b，a＝6－2＝4；i＝3，滿足a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不滿足a>b，滿足a＝b，故輸出的a＝2，i＝4.
8．(2018屆高三·湖南十校聯考)執行如圖所示的程式框圖，若輸出s的值為－20，則判斷框內應填入( )
a．i>3? b．i<4?
c．i>4? d．i<5?
解析：選d 由程式框圖可得，第一次迴圈，s＝10－2＝8，i＝2；第二次迴圈，s＝8－4＝4，i＝3；第三次迴圈，s＝4－8＝－4，i＝4；第四次迴圈，s＝－4－16＝－20，i＝5，結束迴圈，故條件框內應填寫「i<5？」．
9．給出下面四個模擬結論：
①實數a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；模擬複數z1，z2，若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0.
②實數a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；模擬向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.
③實數a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；模擬複數z1，z2，有z＋z＝0，則z1＝z2＝0.
④實數a，b，有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；模擬向量a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.
其中模擬結論正確的個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：選c 對於①，顯然是正確的；對於②，若向量a，b互相垂直，則a·b＝0，所以②錯誤；對於③，取z1＝1，z2＝i，則z＋z＝0，所以③錯誤；對於④，若a2＋b2＝0，則|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正確的．綜上，模擬結論正確的個數是2.
10．(2017·福州質檢)執行如圖所示的程式框圖，若輸入的m＝168，n＝112，則輸出的k，m的值分別為( )
a．4,7 b．4,56
c．3,7 d．3,56
解析：選c 執行程式，k＝1，m＝84，n＝56，m，n均為偶數；k＝2，m＝42，n＝28，m，n均為偶數；k＝3，m＝21，n＝14，因為m不是偶數，所以執行否．又m≠n，d＝|21－14|＝7，m＝14，n＝7，m≠n；d＝|14－7|＝7，m＝7，n＝7，因為m＝n，所以結束迴圈，輸出k＝3，m＝7.
11．(2017·山東高考)執行兩次如圖所示的程式框圖，若第一次輸入的x的值為7，第二次輸入的x的值為9，則第一次、第二次輸出的a的值分別為( )
a．0,0 b．1,1
c．0,1 d．1,0
解析：選d 當輸入x＝7時，b＝2，因為b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，這時b2>x成立，故a＝1，輸出a的值為1.
當輸入x＝9時，b＝2，因為b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，這時b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，輸出a的值為0.
12．如圖所示的數陣中，用a(m，n)表示第m行的第n個數，則依此規律a(8,2)為( )
…a. b.
c. d.
解析：選c 由數陣知a(3,2)＝，a(4,2)＝，a(5,2)＝，…，則a(8,2)＝＝.
二、填空題
13．(2017·福建普通高中質量檢查)已知複數z＝，則|z
解析：法一：因為z＝＝＝＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝.
法二：|z|＝＝＝＝.
答案：14．(2017·長春質檢)將1,2,3,4，…這樣的正整數按如圖所示的方式排成三角形陣列，則第10行自左向右第10個數為________．
解析：由三角形陣列可推斷出，第n行共有2n－1個數，且最後乙個數為n2，所以第10行共19個數，最後乙個數為100，自左向右第10個數是91.
答案：91
15．在平面幾何中：在△abc中，∠c的內角平分線ce分ab所成線段的比為＝.把這個結論模擬到空間：
在三稜錐abcd中(如圖)，平面dec平分二面角acdb 且與ab相交於e，則得到模擬的結論是________．
解析：由模擬推理的概念可知，平面中線段的比可轉化為空間中面積的比，由此可得：＝.
答案：＝
16．(2016·山東高考)觀察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……照此規律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2
解析：通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數，後面第乙個數是等式左邊最後乙個數括號內角度值分子中π的係數的一半，後面第二個數是第乙個數的下乙個自然數，所以所求結果為×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
答案： n(n＋1)
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