江西安義人
全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形，它們的對應邊相等，對應角相等。對於某些競賽題，考慮構造全等三角形並利用這兩個相等，可使其解答巧妙、迅捷。
一、 與線段相等有關的競賽題
例１（成都市初二數學競賽題）如圖１，△abc的兩條高bd、ce相交於點p，且pd＝pe。求證：ac＝ab。
簡證：連ap。
因為∠pda＝∠pea＝90°，pd＝pe，pa＝pa，
所以△pda≌△pea（hl）。
所以ad＝ae。
因為∠１＝90°－∠cab＝∠２，
所以△ace≌△abd（aas）。
所以ac＝ab。
圖圖２例２（天津市初二數學競賽題）如圖２，ac＝bc，∠acb＝90°，∠a的平分線ad交bc於點d，過點b作be⊥ad於點e。求證：be＝ad。
簡證：延長be、ac交於點f。
因為∠１＝∠２，ae＝ae，∠aeb＝∠aef＝90°，
所以△aeb≌△aef（asa）。
所以be＝fe＝bf。
因為∠３＝90°－∠f＝∠２，bc＝ac,
所以△bcf≌△acd（asa）。
所以bf＝ad，be＝ad。
二、 與角相等有關的競賽題
例３（贛州市初三數學競賽題）如圖３，△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，bd是中線，ce⊥bd於點e，交ab於點f。求證：∠adf＝∠cde。
簡證：過點a作ag⊥ac交cf的延長線於點g。
因為∠１＝90°－∠３＝∠２，ac＝bc，
所以△cag≌△bcd（asa）。
所以ag＝cd＝ad，∠g＝∠cde。
因為∠４＝45°＝∠５，af＝af,
所以△adf≌△agf（sas）。
所以∠adf＝∠g＝∠cde。
圖圖４例４（上海市初中數學競賽題）如圖４，四邊形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab於點e，ae＝（ad＋ab）。求證：∠adc＋∠abc＝180°。
簡證：過點c作cf⊥ad交ad的延長線於點f。
因為∠２＝∠３，ac＝ac，
所以△acf≌△ace（aas）。
所以cf＝ce，af＝ae。
因為ad＋ab＝２ae，ab＝ae＋eb，
所以eb＝ae－ad。
因為fd＝af－ad，
所以eb＝fd。
所以△ceb≌△cfd（sas）。
所以∠abc＝∠5。
所以∠adc＋∠abc＝∠adc＋∠５＝180°。
構造全等三角形巧證幾何題
朱元生全等三角形是初中平幾的重要內容之一，在幾何證題中有著極其廣泛的應用。然而在許多情況下，給定的題設條件及圖形並不具有明顯的全等條件，這就需要我們認真分析，仔細觀察，根據圖形的結構特徵，挖掘潛在因素，通過新增適當的輔助線，巧構全等三角形。借助全等三角形的有關性質，就會迅速找到證題途徑，直觀易懂，簡捷明快。
現略舉幾例加以說明。
一. 證線段垂直
例1. 已知，如圖1，在中，ab＝2bc，求證：
圖1分析與證明：本題可先作的平分線bd交ac於點d，由，又，得到。則為等腰三角形。
再取ab中點e，連de，借助等腰三角形的性質，得到。再由，，bd＝bd，得到。由全等三角形的對應角相等，得到，即。
二. 證線段的倍分
例2. 已知，如圖2，等腰中，，的平分線交ac於d，過c作bd的垂線交bd的延長線於e。求證：bd＝2ce（湖北中考題）
圖2分析與證明：要證bd＝2ce，可延長ba、ce交於點f。由be平分，，得到為等腰三角形。
根據等腰三角形的性質可得ce＝ef，即。再由，ab＝ac，，得到，從而由全等三角形的對應邊相等立即得到bd＝cf＝2ce。
三. 證角相等
例3. 已知，如圖3，在中，d是bc邊的中點，e是ad上一點，be＝ac，be的延長線交ac於點f，求證：
圖3分析與證明：由ad是中線，可「延長中線一倍」，借助中線性質構全等三角形。延長ad至g，使dg＝ad，連bg，由dg＝ad，，bd＝cd得到。
由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得到ac＝bg，。而ac＝be，則be＝bg，所以，而，從而得到。
四. 證角不等
例4. 已知：如圖4，在中，，ad是bc邊的中線。
求證：圖4
分析與證明：由ad是中線，可「延長中線一倍」，借助中線性質構全等三角形。延長ad至e，使de＝ad，連be。
由de＝cd，，bd＝cd，得到。由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得到be＝ac，，在中，由，得到，而，所以
五. 證線段相等
例5. 已知：如圖5，在中，d是bc邊的中點，交的平分線於e，交ab於點f，交ac的延長線於點g。求證：bf＝cg。
圖5分析與證明：要證bf＝cg，顯然要構造三角形找全等。由ed垂直平分bc，連eb、ec，由垂直平分線性質可得，eb＝ec。
又ae為的平分線，且，，根據角平分線性質可得，從而（hl）再由全等三角形的對應邊相等立即可得bf＝cg。
六. 證線段不等
例6. 已知：如圖6，在中，ab＝ac，p是三角形內一點，且，求證：
圖6分析與證明：pb、pc雖在同一三角形中，但與已知條件無直接聯絡，可利用圖形變換構全等三角形。將繞頂點a逆時針旋轉，使ab與ac重合，得，則，從而轉化為比較pc與qc的大小，為此只須證即可。
由，根據全等三角形的對應角相等，對應邊相等得到，aq＝ap，pb＝qc，所以，從而，即。由大角對大邊得到，即
七. 證線段和差相等
例7. 已知：如圖7，在中，，cd是的平分線，求證：bc＝ad＋ac
圖7分析與證明：由cd是的平分線，可利用角平分線的對稱性。在bc上取一點e，使ce＝ca，連de，由ca＝ce，，cd＝cd，可得。
由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得到ad＝ed，且，而，得到，從而，所以
八. 證線段和差不等
例8. 已知：如圖8，d為的bc邊的中點，，的平分線分別與ab、ac交於點e、f，求證：
圖8分析與證明：直接論證，條件不足，可設法將有關線段集中於同一三角形中，為此延長fd至m使dm＝fd，利用角平分線性質構全等三角形，幫助解決。延長fd至m，使dm＝fd，鏈結bm、em。
由dm＝df，，bd＝cd，得到。由全等三角形的對應邊相等得到bm＝cf。由，而，所以；又由，從而。
再由，de＝de，得到。同樣由全等三角形的對應邊相等得到em＝ef。而，所以。
從以上幾例可以看出，有些比較棘手的平幾證題百思不得其解時，根據圖形的結構特點，新增適當的輔助線，巧構全等三角形，可迅速找到證題途徑，使問題迅捷獲證。真可謂「山重水複疑無路，柳暗花明又一村」。
構造全等三角形證明競賽題
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全等三角形專題 構造全等三角形方法總結
專題 構造全等三角形 倍長中線法 即把中線延長一倍，來構造全等三角形。1 如圖1，在 abc中，ad是中線，be交ad於點f，且ae ef 試說明線段ac與bf相等的理由 簡析由於ad是中線，於是可延長ad到g，使dg ad，鏈結bg，則 在 acd和 gbd中，ad gd，adc gdb，cd b...
全等三角形證明題
數學第一 二單元測試題 一 選擇題 1 在 abc和 a b c 中,ab a b b b 補充條件後仍不一定能保證 abc a b c 則補充的這個條件是 a bc b c b a a c ac a c d c c 2 直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數是 a 45 b 135 c 45 ...