專題5：數列
一、選擇題
1 ．（2023年高考大綱卷（文7））已知數列滿足則的前10項和等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】c
【解析】由，所以，所以，所以，所以，故選c.
2 ．（2023年高考安徽（文））設為等差數列的前項和,,則=（ ）
a． b． c． d．2
【答案】a
【解析】
，選a.
3 ．（2023年高考課標ⅰ卷（文6））設首項為,公比為的等比數列的前項和為,則 （ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】在等比數列中，，，選d.
4 ．（2023年高考遼寧卷（文4））下面是關於公差的等差數列的四個命題:
其中的真命題為（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】設，所以正確；如果則滿足已知，但並非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數列，所以錯；，所以是遞增數列，正確
二、填空題
5 ．（2023年高考重慶卷（文12））若2、、、、9成等差數列,則
【答案】
【解析】本題考查等差數列的基本運算與性質。因為成等差數列，所以，即公差，所以。
6 ．（2023年高考北京卷（文11））若等比數列滿足,則公比前項=_____.
【答案】2,
【解析】，代回得，根據等比數列求和公式.
7 ．（2023年高考廣東卷（文））設數列是首項為,公比為的等比數列,則________
【答案】
【解析】因為，所以。
8 ．（2023年高考江西卷（文12））某住宅小區計畫植樹不少於100棵,若第一天植2棵,以後每天植樹的棵樹是前一天的2倍,則需要的最少天數n(n∈n*)等於
【答案】6
【解析】本題考查等比數列的求和以及在實際生活中的應用。由題意可知，植樹棵樹，構成乙個等比數列，其中，所以，由得，，因為，所以，即，所以最少6天。
9 ．（2023年高考遼寧卷（文14.））已知等比數列是遞增數列,是的前項和,若是方程的兩個根,則
【答案】63
【解析】由遞增，，所以，代入等比求和公式得.
10．（2023年高考陝西卷（文13））觀察下列等式:
照此規律, 第n個等式可為
【答案】
【解析】考察規律的觀察、概況能力，注意項數，開始值和結束值。
第n個等式可為:
11．（2023年上海高考數學試題（文科2））在等差數列中,若,則
【答案】15
【解析】
三、解答題
12．（2023年高考福建卷（文））已知等差數列的公差,前項和為.
(1)若成等比數列,求;
(2)若,求的取值範圍.
【答案】解:(1)因為數列的公差,且成等比數列,
所以,即,解得或.
(2)因為數列的公差,且,
所以;即,解得
13．（2023年高考大綱卷（文））等差數列中,
(i)求的通項公式;
(ii)設
【答案】(ⅰ)設等差數列的公差為d,則
因為,所以.
解得,.
所以的通項公式為.
(ⅱ),
所以.14．（2023年高考湖北卷（文））已知是等比數列的前項和,,,成等差數列,且.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)是否存在正整數,使得?若存在,求出符合條件的所有的集合;若不存在,說明理由.
【答案】(ⅰ)設數列的公比為,則,. 由題意得
即解得故數列的通項公式為
(ⅱ)由(ⅰ)有
若存在,使得,則,即
當為偶數時,, 上式不成立;
當為奇數時,,即,則.
綜上,存在符合條件的正整數,且所有這樣的n的集合為.
15．（2023年高考湖南（文））設為數列{}的前項和,已知,2,n
(ⅰ)求,,並求數列{}的通項公式;(ⅱ)求數列{}的前項和.
【答案】解: (ⅰ) -
(ⅱ)上式左右錯位相減: .
16．（2023年高考重慶卷（文））(本小題滿分13分,(ⅰ)小問7分,(ⅱ)小問6分)
設數列滿足:,,.
(ⅰ)求的通項公式及前項和;zhangwlx
(ⅱ)已知是等差數列,為前項和,且,,求.
【答案】
17．（2023年高考天津卷（文））已知首項為的等比數列的前n項和為, 且成等差數列.
(ⅰ) 求數列的通項公式;
(ⅱ) 證明.
【答案】
18．（2023年高考北京卷（文））本小題共13分)給定數列.對,該數列前項的最大值記為,後項的最小值記為,.
(ⅰ)設數列為3,4,7,1,寫出,,的值;
(ⅱ)設()是公比大於1的等比數列,且.證明:
,,,是等比數列;
(ⅲ)設,,,是公差大於0的等差數列,且,證明:,,,是等差數列
【答案】解:(i).
(ii)因為,公比,所以是遞增數列.
因此,對,,.
於是對,.
因此且(),即,,,是等比數列.
(iii)設為,,,的公差.
對,因為,,所以=.
又因為,所以.
從而是遞增數列,因此().
又因為,所以.
因此. 所以.
所以=.
因此對都有,即,,,是等差數列.
19．（2023年高考山東卷（文））設等差數列的前項和為,且,
(ⅰ)求數列的通項公式
(ⅱ)設數列滿足 ,求的前項和
【答案】
20．（2023年高考浙江卷（文））在公差為d的等差數列中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列
(ⅰ)求d,an; (ⅱ) 若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .
【答案】解:(ⅰ)由已知得到:
(ⅱ)由(1)知,當時,,
①當時,
②當時,
所以,綜上所述:;
21．（2023年高考四川卷（文））在等比數列中,,且為和的等差中項,求數列的首項、公比及前項和.
【答案】解:設的公比為q.由已知可得
,, 所以,,解得或 ,
由於.因此不合題意,應捨去,
故公比,首項.
所以,數列的前項和
22．（2023年高考廣東卷（文））設各項均為正數的數列的前項和為,滿足且構成等比數列.
(1) 證明:;
(2) 求數列的通項公式;
(3) 證明:對一切正整數,有.
【答案】(1)當時,,
(2)當時,,
, 當時,是公差的等差數列.
構成等比數列,,,解得,
由(1)可知,
是首項,公差的等差數列.
數列的通項公式為.
(3)23．（2023年高考安徽（文））設數列滿足,,且對任意,函式滿足
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若,求數列的前項和.
【答案】解:由
所以,是等差數列.
而(2)24．（2023年高考課標ⅱ卷（文））已知等差數列的公差不為零，，且成等比數列。
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）求；
【答案】
25．（2023年高考江西卷（文））正項數列滿足.
(1)求數列的通項公式an;
(2)令,求數列的前n項和tn.
【答案】解:
由於是正項數列,則.
(2)由(1)知,故
26．（2023年高考陝西卷（文））
設sn表示數列的前n項和.
(ⅰ) 若為等差數列, 推導sn的計算公式;
(ⅱ) 若, 且對所有正整數n, 有. 判斷是否為等比數列.
【答案】解:(ⅰ) 設公差為d,則
. (ⅱ) . .
所以,是首項,公比的等比數列.
27．（2023年上海高考數學試題（文科））本題共有3個小題.第1小題滿分3分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.
已知函式.無窮數列滿足.
(1)若,求,,; (2)若,且,,成等比數列,求的值;
(3)是否存在,使得,,,,成等差數列?若存在,求出所有這樣的;若不存在,說明理由.
【答案】
28．（2023年高考課標ⅰ卷（文））已知等差數列的前項和滿足,.
(ⅰ)求的通項公式;
(ⅱ)求數列的前項和.
【答案】(1)設的公差為d,則s=.
由已知可得
(2)由(i)知
從而數列.
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