100080 北京中國人民大學附中梁麗平
題型**
不等式應用題，多以函式面目出現，以最優化的形式展現，解答這一類問題，不僅需要不等式的相關知識（不等式的性質、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函式、數列、幾何等多方面知識，綜合性強，難度可大可小，是高考和各地模擬題的命題熱點．
範例選講
例1. 某商場經過市場調查分析後得知，2023年從年初開始的前n個月內，對某種商品需求的累計數（萬件）近似地滿足下列關係：
（ⅰ）問這一年內，哪幾個月需求量超過1.3萬件？
（ⅱ）若在全年銷售中，將該產品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）
講解：（ⅰ）首先，第n個月的月需求量＝
∵，∴ ．
當時，∴ 令，即，解得：，
∵ n∈n， ∴n = 5 ，6
即這一年的5、6兩個月的需求量超過1.3萬件．
（ⅱ）設每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對於第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品．所以，需且只需：，
∴ 又∵ ∴
即每月初至少要投放11112件商品，才能保證全年不脫銷．
點評：實際問題的解答要注意其實際意義．本題中的最小值，不能用四捨五入的方法得到，否則，不符合題意．
例2．已知甲、乙、丙三種食物的維生素a、b含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，並使混合食物內至少含有56000單位維生素a和63000單位維生素b.
（ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；
（ⅱ）確定x，y，z的值，使成本最低．
講解：（ⅰ）由題，，又，所以，．
（ⅱ）由得，，
所以，所以，當且僅當時等號成立．
所以，當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低，為850元．
點評：本題為線性規劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由四條直線所圍成的區域上使得最大的點．不難發現，應在點m（50，20）處取得．
例3．一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（ⅰ）將此枕木翻轉90°（即寬度變為了厚度），枕木的安全負荷變大嗎？為什麼？
（ⅱ）現有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為r）的木材，用它來擷取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規定的長度，問如何擷取，可使安全負荷最大？
講解：（ⅰ）由題可設安全負荷為正常數），則翻轉90後，安全負荷．
因為，所以，當時，．安全負荷變大；
當時，，安全負荷變小．
（2）如圖，設擷取的枕木寬為a，高為d，則，即．
∵ 枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大
∴當且僅當，即取，時，u最大， 即安全負荷最大．
例4．現有流量均為300的兩條河流a、b會合於某處後，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2．假設從匯合處開始，沿岸設有若干個觀測點，兩股水流在流經相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當於兩股水流在1秒鐘內交換100的水量，即從a股流入b股100水，經混合後，又從b股流入a股100水並混合．問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小於0.
01（不考慮泥沙沉澱）？
講解：本題的不等關係為「兩股河水的含沙量之差小於0.01」．但直接建構這樣的不等關係較為困難．為表達方便，我們分別用來表示河水在流經第n個觀測點時，a水流和b水流的含沙量．
則＝2，＝0.2，且
．（＊）
由於題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數列．
由（＊）可得：
所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列．
所以，．
由題，令< 0.01，得．所以，．
由得，所以，．
即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小於0.01．
點評：本題為數列、不等式型綜合應用問題，難點在於對題意的理解．
高考真題
1. （2023年全國高考）某地現有耕地10000公頃,規劃10年後糧食單產比現在增加22％,人均糧食占有量比現在提高10％,如果人口年增長率為1％,那麼耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)？
2. （2023年全國高考）如圖,為處理含有某種雜質的汙水,要製造一底寬為2公尺的無蓋長方體沉澱箱.汙水從a孔流入,經沉澱後從b孔流出.
設箱體長度為a公尺,高度為b公尺.已知流出的水中雜質的質量分數與a,b的乘積ab成反比.現有製箱材料60平方公尺,問當a,b各為多少公尺時,經沉澱後流出的水中該雜質的質量分數最小(a,b孔的面積忽略不計)
3. （2023年上海高考）某商場在**期間規定：商場內所有商品按標價的
80％**；同時，當顧客在該商場內消費滿一定金額後，按如下方案獲得相應金額的獎券：
根據上述**方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠．例如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優惠額為：（元）．設購買商品得到的優惠率＝．試問：
（ⅰ）購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？
（ⅱ）對於標價在［500，800］（元）內的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小於的優惠率？
[答案與提示：1．耕地平均每年至多只能減少4公頃． 2．a=6公尺，b=3公尺時，經沉澱後流出的水中該雜質的質量分數最小． 3．（ⅰ）33%；（ⅱ）顧客購買標價在［625，750］元內的商品時，可得到不小於的優惠率．]
2019屆高考數學第4講基本不等的應用
2014屆高考數學 理 一輪複習教案 第七篇不等式 第4講基本不等式 2014年高考考向 1 考查應用基本不等式求最值 證明不等式的問題 2 考查應用基本不等式解決實際問題 複習指導 1 突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練 2 訓練過程中注意對等價轉化 分類討論及邏輯推理能力的培養 基...
第2講不等式的證明
基礎鞏固題組 一 填空題 1 2013 江蘇卷改編 已知a b 0，m 2a3 b3，n 2ab2 a2b，則m n的大 小關係為 解析 2a3 b3 2ab2 a2b 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 因為a b 0，所以a b 0，a b 0,2a...
第3講導數的綜合應用
一 選擇題 1 用總長為14.8 m的鋼條製作乙個長方體容器的框架，若所製作容器的底面的一邊比高長0.5 m，則當高為 公尺時，容器的容積最大 解析由題意直接列出函式表示式，再用導數求最值，設高為x公尺，則v x x 0.5 3.2 2x v 6x2 4.4x 1.6 0，解15x2 11x 4 0...