十、數列
一、選擇題
1.(天津理4)已知為等差數列,其公差為-2,且是與的等比中項,為
的前項和,,則的值為
a.-110b.-90
c.90d.110
【答案】d
2.(四川理8)數列的首項為,為等差數列且.若則,,則
a.0 b.3c.8d.11
【答案】b
【解析】由已知知由疊加法
3.(四川理11)已知定義在上的函式滿足,當時,.設在上的最大值為,且的前項和為,則
a.3 b. c.2 d.
【答案】d
【解析】由題意,在上,
4.(上海理18)設是各項為正數的無窮數列,是邊長為的矩形面積(),則為等比數列的充要條件為
a.是等比數列。
b.或是等比數列。
c.和均是等比數列。
d.和均是等比數列,且公比相同。
【答案】d
5.(全國大綱理4)設為等差數列的前項和,若,公差,,則
a.8b.7c.6d.5
【答案】d
6.(江西理5) 已知數列{}的前n項和滿足:,且=1.那麼=
a.1 b.9 c.10 d.55
【答案】a
7.(福建理10)已知函式f(x)=e+x,對於曲線y=f(x)上橫座標成等差數列的三個點a,b,c,給出以下判斷:
①△abc一定是鈍角三角形
②△abc可能是直角三角形
③△abc可能是等腰三角形
④△abc不可能是等腰三角形
其中,正確的判斷是
abcd.②④
【答案】b
二、填空題
8.(湖南理12)設是等差數列,的前項和,且,
則【答案】25
9.(重慶理11)在等差數列中,,則
【答案】74
10.(北京理11)在等比數列中,a1=,a4=-4,則公比q2
【答案】
11.(安徽理14)已知的乙個內角為120o,並且三邊長構成公差為4的
等差數列,則的面積為
【答案】
12.(湖北理13)《九章算術》「竹九節」問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共為3公升,下面3節的容積共4公升,則第5節的容積為公升。
【答案】
13.(廣東理11)等差數列前9項的和等於前4項的和.若,則k
【答案】10
14.(江蘇13)設,其中成公比為q的等比數列,成公差為1的等差數列,則q的最小值是________
【答案】
三、解答題
15.(江蘇20)設m部分為正整數組成的集合,數列,前n項和為,已知對任意整數km,當整數都成立
(1)設的值;
(2)設的通項公式
本小題考查數列的通項與前項和的關係、等差數列的基本性質等基礎知識,考查考生分析**及邏輯推理的能力,滿分16分。
解:(1)由題設知,當,
即,從而所以的值為8。
(2)由題設知,當
,兩式相減得
所以當成等差數列,且也成等差數列
從而當時, (*)
且,即成等差數列,
從而,故由(*)式知
當時,設
當,從而由(*)式知
故從而,於是
因此,對任意都成立,又由可知,
解得因此,數列為等差數列,由
所以數列的通項公式為
16.(安徽理18)
在數1和100之間插入個實數,使得這個數構成遞增的等比數列,將這個數的乘積記作,再令.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)設求數列的前項和.
本題考查等比和等差數列,指數和對數的運算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用知識解決問題的能力,綜合運算能力和創新思維能力.
解:(i)設構成等比數列,其中則
①②①×②並利用
(ii)由題意和(i)中計算結果,知
另一方面,利用
得所以17.(北京理20)
若數列滿足,數列為數列,記=.
(ⅰ)寫出乙個滿足,且〉0的數列;
(ⅱ)若,n=2000,證明:e數列是遞增數列的充要條件是=2011;
(ⅲ)對任意給定的整數n(n≥2),是否存在首項為0的e數列,使得=0?如果存在,寫出乙個滿足條件的e數列;如果不存在,說明理由。
解:(ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的e數列a5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是乙個滿足條件的e的數列a5)
(ⅱ)必要性:因為e數列a5是遞增數列,
所以.所以a5是首項為12,公差為1的等差數列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由於a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數列.
綜上,結論得證。
(ⅲ)令
因為……所以因為
所以為偶數,
所以要使為偶數,
即4整除.
當時,有
當的項滿足,
當不能被4整除,此時不存在e數列an,
使得18.(福建理16)
已知等比數列的公比q=3,前3項和s3=。
(i)求數列的通項公式;
(ii)若函式在處取得最大值,且最大值為a3,求函式f(x)的解析式。
本小題主要考查等比數列、三角函式等基礎知識,考查運算求解能力,考查函式與方程思想,滿分13分。
解:(i)由
解得所以
(ii)由(i)可知
因為函式的最大值為3,所以a=3。
因為當時取得最大值,所以又
所以函式的解析式為
19.(廣東理20)
設b>0,數列滿足a1=b,.
(1)求數列的通項公式;
(2)證明:對於一切正整數n,
解: (1)由
令,當①當時,
②當(2)當時,(欲證)
,當綜上所述
20.(湖北理19)
已知數列的前項和為,且滿足:,n*,.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若存在n*,使得,,成等差數列,是判斷:對於任意的n*,且,,,是否成等差數列,並證明你的結論.
本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識,同時考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想。(滿分13分)
解:(i)由已知可得,兩式相減可得
即又所以r=0時,
數列為:a,0,…,0,…;
當時,由已知(),
於是由可得,
成等比數列,
,綜上,數列的通項公式為
(ii)對於任意的,且成等差數列,證明如下:
當r=0時,由(i)知,
對於任意的,且成等差數列,
當,時,
若存在,使得成等差數列,
則,由(i)知,的公比,於是
對於任意的,且
成等差數列,
綜上,對於任意的,且成等差數列。
21.(遼寧理17)
已知等差數列滿足a2=0,a6+a8=-10
(i)求數列的通項公式;
(ii)求數列的前n項和.
解: (i)設等差數列的公差為d,由已知條件可得
解得故數列的通項公式為5分
(ii)設數列,即,
所以,當時,
所以綜上,數列12分
22.(全國大綱理20)
設數列滿足且
(ⅰ)求的通項公式;
(ⅱ)設
解: (i)由題設
即是公差為1的等差數列。
又所以(ii)由(i)得
8分 …………12分
23.(全國新課標理17)
已知等比數列的各項均為正數,且.
(i)求數列的通項公式.
(ii)設,求數列的前n項和.
解:(ⅰ)設數列的公比為q,由得所以.
由條件可知c>0,故.
由得,所以.
故數列的通項式為an=.
(ⅱ)故
所以數列的前n項和為
24.(山東理20)
等比數列中,分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數,且中的任何兩個數不在下表的同一列.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若數列滿足:,求數列的前n項和.
解:(i)當時,不合題意;
當時,當且僅當時,符合題意;
當時,不合題意。
因此所以公式q=3,
故 (ii)因為
所以 所以
當n為偶數時,
當n為奇數時,
綜上所述,
25.(上海理22) 已知數列和的通項公式分別為,(),將集合
中的元素從小到大依次排列,構成數列
。(1)求;
(2)求證:在數列中.但不在數列中的項恰為;
(3)求數列的通項公式。
解:⑴ ;
⑵ ① 任意,設,則,即
② 假設(矛盾),∴
∴ 在數列中.但不在數列中的項恰為。
⑶ ,,,
∵ ∴ 當時,依次有,……
∴ 。26.(四川理20)
設為非零實數,
(1)寫出並判斷是否為等比數列。若是,給出證明;若不是,說明理由;
(ii)設,求數列的前n項和.
解析:(1)
因為為常數,所以是以為首項,為公比的等比數列。
(2)(2)(1)
27.(天津理20)
已知數列與滿足:, ,且
.(ⅰ)求的值;
(ⅱ)設,證明:是等比數列;
(iii)設證明:.
本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.
(i)解:由
可得又(ii)證明:對任意
①②③②—③,得 ④
將④代入①,可得即又
因此是等比數列.
(iii)證明:由(ii)可得,
於是,對任意,有
將以上各式相加,得
即,此式當k=1時也成立.由④式得
從而所以,對任意,
對於n=1,不等式顯然成立.
所以,對任意
28.(浙江理19)已知公差不為0的等差數列的首項為a(),設數列的前n項和為,且,,成等比數列
(1)求數列的通項公式及
(2)記,,當時,試比較與的大小.
本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識,同時考查分類討論思想。滿分14分。
(i)解:設等差數列的公差為d,由
得因為,所以所以
(ii)解:因為,所以
因為,所以當,即
所以,當
當29.(重慶理21)
設實數數列的前n項和,滿足
(i)若成等比數列,求和;
(ii)求證:對
(i)解:由題意,
由s2是等比中項知
由解得 (ii)證法一:由題設條件有
故從而對有
①因,由①得
要證,由①只要證
即證此式明顯成立.
因此最後證若不然
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