我們先看乙個熟知的問題：一張正方形的桌子，鋸掉乙個角後，還剩幾個角？
不假思索者答：4-1=3，還剩3個角。
自以為聰明者答：反而多乙個，應該是5個。
實際上，以上答案都不全面，因為「鋸掉乙個角」這個條件並不明確，所以應該分三種情況來進行解答：1,一刀切1個角。2一刀切2個角3一刀切3個角。
根據以上的鋸法，所以這個問題的答案應該是：還剩5個角，或者4個角，或者3個角。
象上面這樣的問題，因為條件不明確而其解答過程和答案不唯一。近年各地中考試題中，經常出現一些需要分類考慮的問題．本文就常見的型別舉例進行介紹如下。
一、與絕對值概念有關的問題
如果∣x∣=a，則x=±a。
例：如果∣a∣=3，∣b∣=5，則a+b= 。
解：a=±3，b=±5，a+b的值分別為：
①a+b=2+3=5； ②a+b=-2+3=1；
③a+b=2-3=-1； ④a+b=-2-3=-5。
二、與偶次方根有關的分類求解
如果x2n=a，那麼x=± 。
如x2=9，則x=±3 。
三、與三角形有關的分類求解
1．角的計算．
例1、已知等腰三角形的乙個內角50°，則其它兩角的度數是 ．
分析：50°的角有可能為底角，也有可能為頂角，故必須分類求解．
解(1)當50°的角為底角時，則頂角為
180°一2× 50°=80°
(2)當50°的角為頂角時，則底角為
（180°-50°）=65°
故應填 50°、80°或65°、65°．
例2、等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45。，則這個等腰三角形的頂角的度數為 ．
分析：根據題意，可畫出如圖所示的兩種圖形：
(1)當垂足在腰上時，如圖∠a=45°
(2)當垂足在腰的延長線上時，如圖，得
∠bac=90°+45°=135°．
故應填45~或135。．
2．邊的計算．
例3、已知等腰三角形的一邊等於5，一邊等於6，則它的周長為 ．
分析：由三角形的三邊不等關係，可知等於5的邊既可以作腰，又可以作底，故必須分類求解．
解：(1)當腰長為5，底邊長為6時，周長為： 5×2+6=16．
(2)當腰長為6，底邊長為5時，周長為：
5+6×2=17． 故應填16或17．
例4、△abc中，ab=8，ac=6，點d在ac上且ad=2，如果要在ab上找一點e，使△ade與原三角形相似，那麼ae= 。
分析：使△ade與原三角形相似，有過d作de∥de交ab於e或作∠ade=∠b交ab於e兩種情況，故須分類求解．
解 (1)如圖3，當de∥cb時，則△ade∽△acb．
(2)如圖4，作∠ade=∠b交ab於e，則△ade
∽△abc．
故ae的長為8/3或3/2。
二、與圓有關的分類求解
圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，並且具有旋轉不變性；有關圓的計算題，應特別注意根據其對稱性進行分類求解．
1．點和圓的位置．
例5、若⊙0的半徑為5，且點m到⊙0的最短距離為3，則點肘到⊙0的最長距離為 ．
分析：根據題意，本題應按點m在圓內和圓外兩種情況分類求解：
①當點m在o 0內時，點肘到圓的最長距離為5×2-3=7；②當點m在⊙0外時，點m到圓的最長距離為5×2+3=13．故應填7或13．
2．兩圓相切問題．
例6、已知兩圓的半徑分別是2cm和5cm，當兩圓相切時，圓心距是 ．
分析：兩圓相切可分內切和外切兩種情況：①當兩圓內切時，圓心距為
5－2=3 cm；
②當兩圓外切時，圓心距為5+2=7 cm．
故應填3cm或7cm．
3．點在圓上的位置．
例7、以線段ab為直徑作乙個半圓，圓心為0，c是半圓上的點，且oc2=ac·bc。
則∠cab= 。
分析：由於半圓的對稱性，本題應分為點c與點a和點c與點b分別同在四分之一圓上兩種情況求解．
解：(1)當點c和點a同在四分之一圓上時
(如圖5)，作cd⊥ab，垂足為d，由面積公式，得：ac·bc=cd·ab=2cd·oc．
又 ac·bc=oc2，
故 2cd·oc=oc2，
oc=2cd．故∠cod=30°，
從而∠cba= ∠cod=15°.
在rt△abc中，∠cab=90°一15°=75°．
(2)當點c和點b同在四分之一圓上時(如圖6)，同(1)的解法得∠cod=30°，
此時 ∠cab=15°．
綜合(1)、(2)所述，∠cab=75°或15°．
4．弦所對的圓周角問題．
例8、在⊙0中，圓心角∠aob的度數是100°，則弦ab所對的圓周角的是 ．
分析：弦(除直徑外)所對的圓周角有兩種情況：
①當弦所對圓周角的頂點在優弧上時，由
∠aob=100°，知其圓周角為50°；
②當弦所對圓周角的頂點在劣弧上時，其圓周角為130°．
故應填50°或130°．
5．公共弦問題．
例9、 ⊙01與⊙02相交於a、b兩點，它們的半徑aol=20，a02=15，公共弦ab=24，則△a0102的周長等於 ．
分析：由於圓的對稱性，兩圓的公共弦可在兩圓圓心之間，也可在兩圓圓心同旁．
解：（1）當兩圓的公共弦ab在兩圓圓心之間時，如圖7．在rt△ao1c中， o1c= 16．
在rt△a02c中，
02c= =9．
故 0102=01 c+02c=16+9=25．
所以：所求周長=20+15+25=60．
(2)當兩圓的公共弦在兩圓圓心同旁時，如圖8，如(1)的解法，得01c=16，02c=9．
此時 0102=01c－02c=7．
故所求周長=20+15+7=42．
所以應填 60或42．
6．平行弦與圓心的位置．
例10、 ⊙0的半徑為5cm，兩條平行弦的長分別為 6cm和8cm，這兩條平行弦間的距離為 ．
分析：圓內兩平行弦與圓心的關係有兩種情況：
①當兩平行弦在圓心的同旁時，則其距離為 1；
②當兩平行弦在圓心的兩旁時，則其距離為 =7．
故應填1cm或7cm．
三、練習題
（一）、填空題
1．化簡 (m≠n)
= 。2．等腰三角形的兩條邊長是4和5，則它的周長是 。
3．已知點p到⊙0的最近距離為3cm，最遠距離為9cm，則⊙0的半徑為 ．
4．已知實數a，b滿足條件a2—7a+2=0，b2—7b+2=0，則 ．
5．已知⊙0l的半徑是8cm，⊙02的半徑是5cm，若兩圓相切，則圓心距是 ．
6．當m= 時，函式y=(m+3)x2m+1+4x-5
（x≠0）是乙個一次函式．
7．在半徑為5cm的圓內有兩條互相平行的弦，一條弦長是8cm，另一條弦長是6cm，則這兩條弦之間的距離是 。
8．設k= ，
則k的值為 ．
9．pa、pc分別切⊙0於a、c兩點，b為⊙0上與a、c不重合的點，若∠p=50°，則
∠abc= ．
10．在△abc中，ab=8，ac=6，點d在ac上，且ad=2，如果要在ab上找一點e，使△ade與原三角形相似，那麼ae= ．
二、單項選擇題
11．在平面上任意畫四個點，那麼這四個點可以確定的直線有( )．
a。1條 b．4條
c．6條 d．1條或4條或6條
12．等腰三角形一腰上的高與腰長的比為1∶2，則等腰三角形頂角為( )．
a．30° b．60°
c．150° d．30°或150°
13．在⊙0中，半徑r=1，弦ab= ，弦ac= ，則∠bac的度數為( )．
a．75° b．15°
c．75°或15° d．90°或60°
14．若關於x的方程kx2一4x+3=0有實數根，則k的非負整數值為( )．
a．0、1 b．0、l、2
c．1 d．1、2、3
15．已知兩圓內切，乙個圓的半徑為3，圓心距是2，那麼另一圓的半徑是( )．
a．1 b．5
c．2或3 d．1或5
16．在半徑等於5cm的圓內有長為5 cm的弦，則弦所對的圓周角為( )．
a．60°或120° b．30°或120°
c．60° d．120°
17．相交兩圓的公共弦為6，兩圓的半徑分別為3 、5，則兩圓的圓心距為( )．
a．7或1 b．4或3
c．7 d．1
18．如果兩圓半徑分別為r和r，外公切線長為r+r，那麼這兩圓的位置關係為( )．
a．相交 b．外切
c．外離 d．外切或外離
三、解答題
19．已知線段ab=8cm，在直線ab上畫線段bc，使它等於3cm，求線段ac的長．
20．已知三角形的兩邊長為3、4，要這個三角形為直角三角形，求第三邊的長．
21．已知拋物線y=x2一(a+2)x+9的頂點在座標軸上，求a的值．
22．當m為何值時， 無實數根．
23．已知△abc的ab=2 ，ac=2，bc邊上的高ad= ，求bc的長．
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