在處理分數和分式問題時，有時由於分子比分母大，或者分子的次數高於分母的次數，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分數（分式）的加減法，將假分數（分式）拆分成乙個整數（或整式）與乙個真分數的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現舉例說明．
材料1：將分式拆分成乙個整式與乙個分式（分子為整數）的和的形式．
解：==﹣+=x﹣2+
這樣，分式就拆分成乙個整式x﹣2與乙個分式的和的形式．
材料2：已知乙個能被11整除的個位與百位相同的三位整數100x+10y+x，且1≤x≤4，求y與x的函式關係式．
解：∵==9x+y+，
又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴﹣7≤2x﹣y≤8，還要使為整數，
∴2x﹣y=0，即y=2x．
（1）將分式拆分成乙個整式與乙個分子為整數的分式的和的形式，則結果為 x+7+ ；
（2）已知整數x使分式的值為整數，則滿足條件的整數x= 2或4或﹣10或16 ；
（3）已知乙個六位整數能被33整除，求滿足條件的x，y的值．
【考點】6d：分式的化簡求值．菁優網版權所有
【分析】（1）將分子x2+6x﹣3化為（x﹣1）（x+7）+4，依據題意可得；
（2）將分子2x2+5x﹣20化為（x﹣3）（2x+11）+13，依題意可得；
（3）由題意得出=6061+30x+3y+，即可知10x+y+4為33的倍數，據此可得．
【解答】解：（1）===
=x+7+，
故答案為：x+7+；
（2）===
=2x+11+，
∵分式的值為整數，
∴是整數，
∴x﹣3=±1或x﹣3=±13，
解得：x=2或4或﹣10或16，
故答案為：2或4或﹣10或16；
（3）=
==6061+30x+3y+，
∵整數能被33整除，
∴為整數，即10x+y+4=33k，（k為整數），
當k=1時，x=2、y=9符合題意；
當k=2時，x=6、y=2符合題意；
當k=3時，x=9、y=5符合題意．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式的化簡求值的計算方法．
（2016秋沙坪壩區校級期末）閱讀下列材料，解決後面兩個問題：
乙個能被17整除的自然數我們稱為「靈動數」．「靈動數」的特徵是：若把乙個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的整倍數（包括0），則原數能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍數，就繼續上述的「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止．
例如：判斷1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到這裡如果你仍然觀察不出來，就繼續…6×5=30，現在個位×5=30＞剩下的13，就用大數減去小數，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．
（1）請用上述方法判斷7242和2098754 是否是「靈動數」，並說明理由；
（2）已知乙個四位整數可表示為，其中個位上的數字為n，十位上的數字為m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n為整數．若這個數能被51整除，請求出這個數．
【考點】59：因式分解的應用．菁優網版權所有
【分析】（1）根據「靈動數」的特徵，列出算式求解即可；
（2）先求出51×52＜2700，51×55＞2800，根據整數的定義求出51×53，51×54的積，從而求解．
【解答】解：（1）724﹣2×5=714，71﹣4×5=51，51÷17=3，
所以7242能被17整除，是「靈動數」；
209875﹣4×5=209855，20985﹣5×5=20960，2096﹣0×5=2096，209﹣6×5=179，179÷17=10…9，
所以209875不能被17整除，不是「靈動數」；
（2）∵51×52＜2700，51×55＞2800，
51×53=2703，51×54=2754，
∴這個數是2703或2754．
【點評】此題主要考查了新定義，數的整除，解本題的關鍵是理解新定義，掌握數的整除是解本題的難點．
（2017大渡口區模擬）我們知道：乙個整數的個位數是偶數，則它一定能被2整除；乙個整數的各位數字之和能被3整除，則它一定能被3整除．若乙個整數既能被2整除又能被3整除，那麼這個整數一定能被6整除．數字6象徵順利、吉祥，我們規定，能被6整除的四位正整數（千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d）是「吉祥數」．請解答下面幾個問題：
（1）已知是「吉祥數」，則x= 4 ．
（2）若正整數是「吉祥數」，試說明：d+4（a+b+c）能被2整除．
（3）小明完成第（2）問後認為：四位正整數是「吉祥數」，那麼d+4（a+b+c）也能被6整除．你認為他說得對嗎？請說明理由．
【考點】59：因式分解的應用．菁優網版權所有
【專題】1：常規題型；512：整式．
【分析】（1）根據「吉樣數」的定義，由既能被2整除又能被3整除的數的特徵求解即可；
（2）根據「吉樣數」的定義，可得d是偶數，根據偶數的定義可知4（a+b+c）是偶數，從而求解；
（3）d+4（a+b+c）=a+b+c+d+3（a+b+c），通過證明「吉樣數」的定義得出a+b+c+d能被3整除，結合（2）即可求解．
【解答】解：（1）∵7+8+5=20，是「吉樣數」，
∴中x只能為4，
故答案為：4；
（2）∵正整數是「吉樣數」，
∴d是偶數，
∵4（a+b+c）是偶數，
∴d+4（a+b+c）是偶數，
∴d+4（a+b+c）能被2整除；
（3）對，
由（2）知d+4（a+b+c）能被2整除，
∵四位正整數是「吉樣數」，
∴a+b+c+d能被3整除，
即a+b+c+d=3x，x為正整數，
∴d+4（a+b+c）
=a+b+c+d+3（a+b+c）
=3x+3（a+b+c）
=3（a+b+c+x），
∴d+4（a+b+c）能被3整除．
綜上所述，d+4（a+b+c）是「吉祥數字」．
【點評】考查了因式分解的應用，解題的關鍵是理解閱讀材料的內容，以及理解「吉樣數」的定義．
【閱讀理解】當a＞0，b＞0時，a=（）2，b=（）2則（﹣）2=（）2﹣2+（）2=a+b﹣2≥0，那麼≥，因此對任意兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式；，當且僅當a=b時取等號，我們把叫做正數a，b的算術平均數，把叫做正數a，b的幾何平均數，於是上述的不等式可以表述為：兩個正數的算術平均數不小於（即大於或等於）他們的幾何平均數，它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具．
【例項剖析】已知x＞0，求式子y=x+的最小值．
解：令a=x，b=，則由≥，得y=x+≥2=2×=4，當且僅當x=時，即x=2時，式子的最小值，最小值為4．
【學以致用】根據上面的閱讀材料回答下列問題：
（1）已知x＞0，則當x為時，式子y=2x+取到最小值，最小值是 2 ．
（2）用籬笆圍乙個面積為64m2的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短是多少公尺？
（3）已知x＞0，則當x取何值時，式子y=取到最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴y=2x+≥2，即y≥2，
當且僅當2x=時，即x=時，y取得最小值，最小值為2，
故答案為，2．
（2）這個矩形的長、寬分別為xm，ym．由題意xy=64，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥2，即x+y≥16，
∴當且僅當x=y=8時，x+y取得最小值，
∴矩形的長、寬都等於8m時，所用的籬笆最短，最短是32m．
（3）∵x＞0，
∴y==，
∵x+≥2，即x+≥6，
當且僅當x=時，即x=3時，x+取得最小值，最小值為6，
∴x=3時，y==取得最大值為．
2、在數學上，對於兩個正數p和q有三種平均數，即算術平均數a、幾何平均數g、調和平均數h，其中，，而調和平均數h滿足．我們把a、g、h稱為p、q的平均陣列．
①若p=2，q=6，則a= 4 ，g= 2 ，h= 3 ．
②根據上述關係，可以推導出a、g、h三者的等量關係 g2=ah ．
③現在小明手裡有一張卡片，上面標有數字，另外在乙個不透明的布袋中有三個小球，表面分別標有10，8，1，這三個球除了標的數不同外，其餘均相同．若從布袋中任意摸出兩個小球，求摸出的兩個數字與卡片上數字恰好構成平均陣列的概率．（請用「畫樹狀圖」或「列表」等方法給出分析過程，並求出結果）
【解答】解：（1）∵p=2，q=6，
∴==4，==2，h=3，
故答案為：4，2，3；
（2）∵，，，
∴=，∴h==，
∴g2=ah；
（3）列樹狀圖如下：
∵一共有6種情況，其中10，8，是平均陣列，共2種滿足條件，
∴p（構成平均陣列）==．
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