11. （ 2014安徽省,第22題12分）若兩個二次函式圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函式為「同簇二次函式」．
（1）請寫出兩個為「同簇二次函式」的函式；
（2）已知關於x的二次函式y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經過點a（1，1），若y1+y2與y1為「同簇二次函式」，求函式y2的表示式，並求出當0≤x≤3時，y2的最大值．
考點： 二次函式的性質；二次函式的最值．
專題： 新定義．
分析： （1）只需任選乙個點作為頂點，同號兩數作為二次項的係數，用頂點式表示兩個為「同簇二次函式」的函式表示式即可．
（2）由y1的圖象經過點a（1，1）可以求出m的值，然後根據y1+y2與y1為「同簇二次函式」就可以求出函式y2的表示式，然後將函式y2的表示式轉化為頂點式，在利用二次函式的性質就可以解決問題．
解答： 解：（1）設頂點為（h，k）的二次函式的關係式為y=a（x﹣h）2+k，
當a=2，h=3，k=4時，
二次函式的關係式為y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴該二次函式圖象的開口向上．
當a=3，h=3，k=4時，
二次函式的關係式為y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴該二次函式圖象的開口向上．
∵兩個函式y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，
∴兩個函式y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是「同簇二次函式」．
∴符合要求的兩個「同簇二次函式」可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的圖象經過點a（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3
=2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2與y1為「同簇二次函式」，
∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1
=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞﹣2．
∴．解得：．
∴函式y2的表示式為：y2=5x2﹣10x+5．
∴y2=5x2﹣10x+5
=5（x﹣1）2．
∴函式y2的圖象的對稱軸為x=1．
∵5＞0，
∴函式y2的圖象開口向上．
①當0≤x≤1時，
∵函式y2的圖象開口向上，
∴y2隨x的增大而減小．
∴當x=0時，y2取最大值，
最大值為5（0﹣1）2=5．
②當1＜x≤3時，
∵函式y2的圖象開口向上，
∴y2隨x的增大而增大．
∴當x=3時，y2取最大值，
最大值為5（3﹣1）2=20．
綜上所述：當0≤x≤3時，y2的最大值為20．
點評： 本題考查了求二次函式表示式以及二次函式一般式與頂點式之間相互轉化，考查了二次函式的性質（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力．而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關鍵．
12. （ 2014珠海，第20題9分）閱讀下列材料：
解答「已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值範圍」有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值範圍是0＜x+y＜2
請按照上述方法，完成下列問題：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，則x+y的取值範圍是 1＜x+y＜5 ．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值範圍（結果用含a的式子表示）．
13．（2014四川自貢，第23題12分）閱讀理解：
如圖①，在四邊形abcd的邊ab上任取一點e（點e不與a、b重合），分別連線ed、ec，可以把四邊形abcd分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把e叫做四邊形abcd的邊ab上的「相似點」；如果這三個三角形都相似，我們就把e叫做四邊形abcd的邊ab上的「強相似點」．解決問題：
（1）如圖①，∠a=∠b=∠dec=45°，試判斷點e是否是四邊形abcd的邊ab上的相似點，並說明理由；
（2）如圖②，在矩形abcd中，a、b、c、d四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形abcd的邊ab上的強相似點；
（3）如圖③，將矩形abcd沿cm摺疊，使點d落在ab邊上的點e處，若點e恰好是四邊形abcm的邊ab上的乙個強相似點，試**ab與bc的數量關係．
14.（2014·浙江金華，第22題10分）
（1）閱讀合作學習內容，請解答其中的問題.
（2）小亮進一步研究四邊形的特徵後提出問題：「當時，矩形aegf與矩形dohe能否全等？能否相似？」
針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結論即可；這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由.
【答案】（1）； ；（2）這兩個矩形不能全等，這兩個矩形的相似比為.
【解析】
∴，解得或.
∴點f 的座標為.
（2）這兩個矩形不能全等，理由如下：
設點f 的座標為，則，
考點：1. 閱讀理解型問題；2.
待定係數法的應用；3.曲線上點的座標與方程的關係；4.正方形的和矩形性質；5.
全等、相似多邊形的判定和性質；6.反證法的應用.
15. （2023年江蘇南京，第27題）【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法（即「sas」、「asa」、「aas」、「sss」）和直角三角形全等的判定方法（即「hl」）後，我們繼續對「兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等」的情形進行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，然後，對∠b進行分類，可分為「∠b是直角、鈍角、銳角」三種情況進行**．
第1題圖）
【深入**】
第一種情況：當∠b是直角時，△abc≌△def．
（1）如圖①，在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e=90°，根據 hl ，可以知道rt△abc≌rt△def．
第二種情況：當∠b是鈍角時，△abc≌△def．
（2）如圖②，在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是鈍角，求證：△abc≌△def．
第三種情況：當∠b是銳角時，△abc和△def不一定全等．
（3）在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△def，使△def和△abc不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）∠b還要滿足什麼條件，就可以使△abc≌△def？請直接寫出結論：在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是銳角，若 ∠b≥∠a ，則△abc≌△def．
考點：全等三角形的判定與性質
分析：（1）根據直角三角形全等的方法「hl」證明；
（2）過點c作cg⊥ab交ab的延長線於g，過點f作dh⊥de交de的延長線於h，根據等角的補角相等求出∠cbg=∠feh，再利用「角角邊」證明△cbg和△feh全等，根據全等三角形對應邊相等可得cg=fh，再利用「hl」證明rt△acg和rt△dfh全等，根據全等三角形對應角相等可得∠a=∠d，然後利用「角角邊」證明△abc和△def全等；
（3）以點c為圓心，以ac長為半徑畫弧，與ab相交於點d，e與b重合，f與c重合，得到△def與△abc不全等；
（4）根據三種情況結論，∠b不小於∠a即可．
解答：（1）解：hl；
（2）證明：如圖，過點c作cg⊥ab交ab的延長線於g，過點f作dh⊥de交de的延長線於h，
∵∠b=∠e，且∠b、∠e都是鈍角，∴180°﹣∠b=180°﹣∠e，
即∠cbg=∠feh，
在△cbg和△feh中，，∴△cbg≌△feh（aas），∴cg=fh，
在rt△acg和rt△dfh中，，∴rt△acg≌rt△dfh（hl），∴∠a=∠d，
在△abc和△def中，，∴△abc≌△def（aas）；
（3）解：如圖，△def和△abc不全等；
（4）解：若∠b≥∠a，則△abc≌△def．
故答案為：（1）hl；（4）∠b≥∠a．
16. （2014黔南州，第20題10分）（1）解不等式組，並把它的解集在數軸上表示出來．
（2）先閱讀以下材料，然後解答問題，分解因式．
mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nx+my+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．以上分解因式的方法稱為分組分解法，請用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2．
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