第45章閱讀理解型
1. (2011江蘇南京，28，11分)
問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
數學模型
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函式關係式為．
探索研究
⑴我們可以借鑑以前研究函式的經驗，先探索函式的圖象性質．
1 填寫下表，畫出函式的圖象：
②觀察圖象，寫出該函式兩條不同型別的性質；
③在求二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函式(x＞0)的最小值．
解決問題
⑵用上述方法解決「問題情境」中的問題，直接寫出答案．
【答案】解：⑴①，，，2，，，．
函式的圖象如圖．
②本題答案不唯一，下列解法供參考．
當時，隨增大而減小；當時,隨增大而增大；當時函式的最小值為2．③=
==當=0，即時，函式的最小值為2．
⑵當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為．
2. （2011江蘇南通，27，12分）（本小題滿分12分）
已知a(1，0)， b(0,－1)，c(－1，2)，d(2，－1)，e(4，2)五個點，拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0），經過其中三個點.
（1） 求證：c，e兩點不可能同時在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上；
（2） 點a在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上嗎？為什麼？
（3） 求a和k的值.
【答案】（1）證明：將c，e兩點的座標代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0）得，
，解得a＝0，這與條件a＞0不符，
∴c，e兩點不可能同時在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
（2）【法一】∵a、c、d三點共線（如下圖），
∴a、c、d三點也不可能同時在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
∴同時在拋物線上的三點有如下六種可能：
①a、b、c；
②a、b、e；
③a、b、d；
④a、d、e；
⑤b、c、d；
⑥b、d、e.
將①、②、③、④四種情況（都含a點）的三點座標分別代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0），解得：①無解；②無解；③a＝－1，與條件不符，捨去；④無解.
所以a點不可能在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
【法二】∵拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的頂點為（1，k）
假設拋物線過a(1，0)，則點a必為拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的頂點，由於拋物線的開口向上且必過五點a、b、c、d、e中的三點，所以必過x軸上方的另外兩點c、e，這與（1）矛盾，所以a點不可能在拋物線y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.
（3）ⅰ.當拋物線經過（2）中⑤b、c、d三點時，則
，解得ⅱ. 當拋物線經過（2）中⑥b、d、e三點時，同法可求：.
∴或.3. （2011四川涼山州，28，12分）如圖，拋物線與軸交於（，0）、（，0）兩點，且，與軸交於點，其中是方程的兩個根。
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是線段上的乙個動點，過點作∥，交於點，連線，當的面積最大時，求點的座標；
（3）點在（1）中拋物線上，點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點的座標，若不存在，請說明理由。
【答案】
（1）∵，∴，。
∴，。又∵拋物線過點、、，故設拋物線的解析式為，將點的座標代入，求得。
∴拋物線的解析式為。
（2）設點的座標為（，0），過點作軸於點（如圖（1））。
∵點的座標為（，0），點的座標為（6，0），
∴，。∵，∴。
∴，∴，∴。∴。
∴當時，有最大值4。
此時，點的座標為（2，0）。
（3）∵點（4，）在拋物線上，
∴當時，，
∴點的座標是（4，）。
1 如圖（2），當為平行四邊形的邊時， ，
∵（4，），∴錯誤！鏈結無效。。
∴，。2 如圖（3），當為平行四邊形的對角線時，設，
則平行四邊形的對稱中心為（，0）。
∴的座標為（，4）。
把（，4）代入，得。
解得。，。
4. （2011江蘇蘇州，28,9分）（本題滿分9分）如圖①，小慧同學吧乙個正三角形紙片（即△oab）放在直線l1上，oa邊與直線l1重合，然後將三角形紙片繞著頂點a按順時針方向旋轉120°，此時點o運動到了點o1處，點b運動到了點b1處；小慧又將三角形紙片ao1b1繞b1點按順時針方向旋轉120°，點a運動到了點a1處，點o1運動到了點o2處（即頂點o經過上述兩次旋轉到達o2處）.
小慧還發現：三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點o運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧oo1和弧o1o2，頂點o所經過的路程是這兩段圓弧的長度之和，並且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等於扇形aoo1的面積、△ao1b1的面積和扇形b1o1o2的面積之和.
小慧進行模擬研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片oabc放在直線l2上，oa邊與直線l2重合，然後將正方形紙片繞著頂點a按順時針方向旋轉90°，此時點o運動到了點o1處（即點b處），點c運動到了點c1處，點b運動到了點b1處；小慧又將正方形紙片ao1c1b1繞b1點按順時針方向旋轉90°，……，按上述方法經過若干次旋轉後，她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片oabc按上述方法經過3次旋轉，求頂點o經過的路程，並求頂點o在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形oabc按上述方法經過5次旋轉，求頂點o經過的路程；
問題②：正方形紙片oabc按上述方法經過多少次旋轉，頂點o經過的路程是π？
請你解答上述兩個問題.
【答案】解問題①：如圖，正方形紙片oabc經過3次旋轉，頂點o運動所形成的圖形是三段弧，即弧oo1、弧o1o2以及弧o2o3，
∴頂點o運動過程中經過的路程為
.頂點o在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為
=1+π.
正方形oabc經過5次旋轉，頂點o經過的路程為
.問題②：∵方形oabc經過4次旋轉，頂點o經過的路程為
∴π=20×π+π.
∴正方形紙片oabc經過了81次旋轉.
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