模型專題
模型，是乙個結論，更是一種思考模式，有時能夠發揮出很大的用處。
【1】中點+平行模型
如圖，如果ab//de，且c 為ae 中點，則有△abc≌△edc.
很好證的，當然十分實用，經常需要新增輔助線（例如延長）
【例題1】（2014 深圳模擬）如圖，梯形abcd中，cd∥ab，ab=3cd，e是對角線ac的中點，連線be延長交ad於f，則(df/af)= (答案：)
【例題2】（2014 深圳）如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，e是cd的中點，ae⊥af交bc於f，∠dae＝30°，若ad=，ae=，則bf的長為( )(答案： d)
a.1 b. c. d.
【2】一線三等角模型
如圖，若∠b=∠c=∠def=α°（0<α≤90)
則一定有△bde 與△cef 相似。
十分好證（外角和什麼一大堆），並且也很實用。經常在矩形裡出題。
【例題1】（2009 太原）如圖，梯形abcd中，ad//bc，ad=bc=，∠b=∠c=45°，e、f分別是線段bc、cd上的動點，且保持∠aef=45°，當△abe是等腰三角形時，cf= 。
【例題2】（2006 河南）如圖，矩形oabc中a（1，0），b（1，2），將△oab沿ob摺疊到△oa`b的位置，則a的座標為 。
【例題3】（原創）如圖，四邊形abcd是矩形，e、f分別是線段bc、射線cd上一點，且使∠aef=90°.
（1）求af的最大值。
（2）當e為bc中點是，求證：△aef∽△abe
答案：1. 2 或或；2.(， )
【3】巧造旋轉模型
在某些幾何題中，往往有一些奇怪的結論，此時可以通過幾何三大變換之一【旋轉】求解。
巧造旋轉往往要有一定的等量關係和特殊角度，如下題：
如圖,等腰直角三角形abc中,ab=ac,d是bc上一點,求證:bd2 + cd2 = 2ad2
通過觀察可得∠abc=∠c=45°，ab=ac。
我們可以將△acd 繞a 順時針旋轉90°得到△abe，使得ac 與ab 重合。
那麼就有eb⊥bc，而在rt△aed 中，de=2ad（等腰直角三角形）
所以be+bd=de，即bd+cd=2ad
是不是趕腳很難想到？要學會判斷，這種感覺是要練出來的！
【例題1】（2014 武漢）四邊形abcd中,∠abc=∠acb=∠adc=45°,ad=4,cd=3,則bd= .
【例題2】如圖,△abc中,ab=2,ac=3,以△abc三邊分別向外做正方形,則陰影部分面積最大值為 .
【例題3】（2014 菏澤改編）如圖，射線ap與射線aq垂直，b、d分別是射線ap、aq上的點，作正方形abcd。de、bf分別平分∠pdc、∠cbq且∠eaf＝45°，連線ef。
（1）若de·bf=4，求正方形的邊長。
（2）以af、ae、ef為三邊構成的三角形是什麼特殊三角形？判斷給予證明。
答案：1. 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋轉後證全等，證明略
【4】等腰模型
這是乙個很基礎的模型——什麼樣的結構會生成等腰三角形
首先：平行+角平分線，
如圖，若ad//be，bc 平分∠abe，則ab=ac，很好證的，導角即可。
其次：垂直+角平分
這個不難理解，因為等腰三角形三線合一。
這種模型很常用，常常需要做輔助線（延長之類）
【例題1】（原創）如圖，梯形abcd中，ab//cd，ab=5，cd=6，∠abc的平分線be交於ad的中點e。則bc的長為 。
【例題2】（原創）如圖，梯形abcd中，ad//bc，∠abc的平分線be與cd垂直，垂足為e。
，若s△bce=2，則四邊形abed的面積為 。
【例題3】（改編）△abc中，ad平分∠bac，cd⊥ad，e是bc的中點，連線de。
（1）求證：de//ab
（2）求證：de=（ab-ac）
1.11 2.3 3.延長cd 交ab 於m，利用中位線，證明略
【5】倍長中線法
常考，選填大證明都可能會用。
是的！又是中點，中點用的很多啊= =
這個模型怎麼用？先要判斷。做題的時候看見中點，先找有沒有可以直接用的，沒有就找就
沒有平行+中點，再沒有就要想了沒事擺個中點在這裡有啥用？這時試試倍長中線。
記住一句話：「倍長中線，定得全等」
先來舉乙個例子，吧裡很經典的一題。←_←
銳角△abc中，ab=3，ac=4，求bc上中線ad的取值範圍。
解：延長ad，使de=ad，連線ce（做這種題不變的輔助線說明）
∵ad=de，bd=cd，∠adb=∠cde
∴△adb≌△edc
∴ce=ab=3
∴4-3故1/2這樣就迎刃而解了，還有好多好多題，需要用到這個
【例題1】（改編）△abc中，d為bc中點，db⊥bc。若bc=5，ab=13，則bd= 。
【例題2】（改編）線段ab上有一點c，以ac、bc為斜邊在同側作等腰直角三角形ace、cbf。d是ab中點，連線de、df。
（1）延長ed於g，使de=dg，連線bg。
求證：△ade ≌ △bdg。
求證：de=df且de⊥df。
（2）將cae逆時針旋轉，則（1）中的結論成立嗎？請說明理由。
（3）若ac=2，bc=6，則de的最小值為 。
1.6 2.證明略（中間有一段要說明旋轉的性質很麻煩），(3.)
【6】幾何最值模型.1
最值是中考最常考的題目，選擇、填空、大題都可能有。
幾何最值——當然數學書上是找不到的，所以這要我們平時多了解這種題的做題技巧
一般有三種：線段最值、折線最值、周長面積最值
最值不好學，先從簡單學起。
1.首先最簡單的：點到直線的距離垂線段最短、化曲為直，這是最基礎的。
2.其次：通過對稱尋找最值，經典的【建設奶站】模型。
3.摺疊最值：三角形三邊關係解題，尋找【三點共線】最關鍵。
舉個例子：
有四個小區a、b、c、d，a、b、c都在道路的同側，現在要在道路上建三個奶站p、q、d，有下列要求：
（1）奶站p到a的距離最短；
（2）奶站q到小區b、c的距離之和最短。
（3）的值最大。
第一問做乙個垂線就行了。
第二問是重點，作c 關於l 的對稱點c'，連線c'b，則c'b 與l 的交點為q，此時bq+cq
最小值為bc'。用三角形三邊關係證明，嘗試一下吧
第三問同樣重點（雖然沒第二問那麼常考），m 可不是ad 與l 的交點，這時因為a、d 在
異側討論差值不方便，故作對稱。則ad'延長線與l 的交點為m，此時lam-dml 的最小值
為d'm。這同樣用三角形三邊關係證。
考試的時候輔助線要寫，道理不用。
簡單歸納，同側最小找軸對稱、異側最大對稱加延長，注意圖形對稱性
好了先到這裡，下面是例題
【例題1】（改編）在邊長為4的正方形abcd內側作等邊三角形abe，p是ac上一動點，連線dp、pe。則pd+pe的最小值為 。
【例題2】（原創）如圖，四邊形abcd中，ab=ad，bc＝cd，∠bad＝120，∠bcd＝90，ab=4，以ab為邊作等邊三角形abe，f是直線bc上一動點。
（1）求ef的最小值；
（2）直線ae上有一點g，
求bg+gf的最小值；
是否存在乙個時刻，使△bfg是等邊三角形？若存在，說明g、f的位置若不存在，說明理由。
1.4 2.(1.)；(2.)①；②∠abg=15°，f為bg的垂直平分線與 bc的交點
【7】幾何最值模型.2
初中大部分的幾何最值都要化曲為直，一般我們稱為【三點共線】，下面是摺疊的一題。
rt△abc，ac=5，bc=12，d是bc的中點，e是ac上的動點，將△ced沿de摺疊，得到△def，連線af，則af的最小值是 。
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