問題重述：
某單位採購員在秋季要決定冬季取暖用煤的貯量問題。已知在正常的冬季氣溫條件下要消耗15噸煤，在較暖與較冷的氣溫條件下要消耗10噸和20噸。假定冬季時的煤價隨天氣寒冷程度有所變化，在較暖、正常、較冷的氣候條件下每噸煤價分別為10元，15元和20元，又設秋季時煤價為每噸10元，若貯煤多於實際用量，多出的部分每噸需要1元的貯存費。
在沒有關於當年冬季準確的氣象預報的條件下，採購員要確定秋季貯煤多少噸總的支出最少。
1.試對該問題建立矩陣對策模型。
2.該對策模型在純策略意義下是否有解？如果無解請寫出
求解最優混合策略的線性規劃模型公式並用lingo求解。
問題分析及模型假設：
該問題我們可以認為是乙個博弈問題，博弈雙方為採購員和氣候，即採購員和氣候為局中人，由於採購員要使自己的總支出最小，而氣候我們可以認為它的目的是使採購員的總支出最大。由題意只採購員儲煤量在10~20噸之間，考慮採購員如果少儲存一噸需要多支出5元或者10元，而多出一噸儲存僅需支出1元儲藏費，所以採購員採取的合理決策行動有三個：儲煤10噸、儲煤15噸、儲煤20噸；氣候的決策行動也有三個即：
氣候較暖、氣候正常、氣候較冷
博弈雙方的決策行動極其產生的結果可以清晰地用表1描述（採購員的總支出）。
表1 採購員與氣候的博弈及其產生的結果
模型建立：
由以上分析我們可以得到採購者的決策集s1=,q1、q2、q3分別表示儲煤10噸、儲煤15噸、儲煤20噸，氣候的決策集s2=,w1、w2、w3分別表示天氣較暖、正常、較冷，則採購者的贏得矩陣為：
因：v1=max min aij=-210，i*=3；v2=min max aij=-200，j*=3
i jj i
所以v1≠v2, 即在純策略意義下矩陣對策g= 不存在解。
我們建立混合意義下的模型，有：
採購者的混合策略集為：
s1*=在混合意義下的最優值
則轉化為線性規劃問題有：
v, j=1,2,33）
將（3）轉化為標準的線性規劃形式，不妨假設v>0，（考慮到a的值都為負值所以我們將a的每一元素都加上300，則將v最終變為正值且求得的值比實際值大300記為v』）在（3）中令xi=xi/v』,則（3）變為：
1, j=1,2,3 ； /v』 （3）
由於v是採購員可能的最小贏得中最大的那個，所以我們的問題是求解在xi未知的情況下求解其最大值。
對此我們可以建立起線性規劃模型（4）：
v』=1/z
min z=x1+x2+x3
200*x1+145*x2+90*x3≥1
125*x1+150*x2+95*x3≥14）
0*x1+50*x2+100*x3≥1
x1、x2、x3≥0
同理對於氣候方，我們也可建立線性規劃模型
v「=1/ω
max ω=y1+y2+y3
200*y1+125*y2+0*y3≤1
145*y1+150*y2+50*y3≤15）
90*y1+95*y2+100*y3≤1
y1、y2、y3≥0
軟體實現：
利用lingo軟體求解（4）其結果如下：
由上可得min z =0.0105，x1=0.0005，x2=0，x3=0.01，故v』=1/z=95.24，
所以v= v』-300=-204.76, s1*==;
由上可得maxω=0.0105，x1=0.0005，x2=0，x3=0.01，故
v「=1/ω=95.24，所以v= v「-300=-204.76, s2*==;
綜上所述：
對策g=在混合策略意義下的解為v=-204.76。
由於採購者的混合策略集為：s1*=;
所以按最大概率選取應該採取策略q3,即儲煤20噸。
摘要：在市場經濟的今天，必須正確看待收入分配中的公平與效率的問題。效率原則是生產力的乙個基本原則，而公平原則是調節社會分配關係，即人與人之間利益關係的乙個基本原則。
正如本文中雇員與雇主的矛盾關係：雇主總是希望以較少的工資換取較多的勞動，而雇員總是希望以較少的勞動換取較多的工資。按照經濟學原理，雙方將會按照「等價交換」的原則達成某種協議，實現雙贏的局面。
為表示等價交換，特引入「無差別曲線」（圖4），並且我們可以想象，本問題中的「無差別曲線」應是單調遞增的，下凸的，且互不相交，這樣雙方滿意的「交換路徑」應在兩族曲線切點的連線上，再根據等價交換作圖，即可確定雙方的工作時間——工資協議。
當工作時間改變時，沿著平衡曲線滑動（圖6），即可得到新的利益平衡點。對比橫縱座標變化率，即可確定對雇主更有利的方案（圖7）。
關鍵詞：等價交換無差別曲線交換路徑
一、 問題的重述
為了得到更多的剩餘價值，雇主總是希望支付較少的工資，而得到更多的勞動力價值，雇員卻希望以較少的勞動換取更多的報酬。最終，雙方將按照「等價交換」的原則，達成一項雙方都比較滿意的協議。鑑於此題，我們需要分別作圖表示雇員一天工作時間t與工資w的無差別曲線和不同工資率下雇主的計時工資線，並根據這兩個曲線族，討論雙方滿意的勞動——工資「交換路徑」。
在達成一項協議後，我們還應分析工作時間增加後，找到新的利益平衡點，並作圖指出提高計時工資率和實行超時工作制，那一種對雇主更有利。
二、 問題假設與符號說明
假設：1、雇員在工作時間內完成有效勞動；
2、雇員和雇主之間實行「按勞分配」，即「等量勞動領取等量報酬」。
三、 問題分析與解答
（1） 我們以雇員一天的工作時間t和工資w分別為橫、縱座標，畫出雇員的無差別曲線族如下圖4：
對上圖的解釋：工作時間越長，則雇員的工資應越高，故曲線是遞增的，而雇員總是希望工資的增長率大於工作時間的增長率，這樣就使得曲線為下凸的。
（2） 假設雇主付計時工資，對不同的工資率，可畫出計時工資線如下圖5：
對上圖的解釋：當雇員不工作時，雇主不會願意為其支付工資，故曲線過原點；在相同的時間內，工資率大的曲線縱座標值也大，但達到一定程度後（稱為曲線的膝點），雇主不會再增加工資（此時相當於承包工作制，圖中未標示）。
將兩條曲線畫在一張座標紙上（如下圖6），用平滑的曲線連線兩族曲線的切點，成為曲線pq,則雙方的折中協議必為pq上的一點，根據等價交換準則及雇主工作要求（不同的工作率），可以確定最終協議為p1（p2）點。
（3） 假設雇員與雇主已經達成乙個協議（t1，w1）,雇主想增加工作時間，那麼實行超時工作制對雇主更有利：
假設新的協議為（t2,w2）,則從圖中可以看出(w2-w1)/w1遠大於(t2-t1)/t1,即若實行提高計時工資率的方法，需要支付w2的工資，而實行超時工作制，只需支付w2』的工資，顯然，只要超時部分（t2－t1）的曲線斜率（即工資）率小於pq的在此處的斜率，那麼實行超時工作制就能夠節省w2-w2』的工資，顯然對雇主是有利的。
四、 模型評價
模型評價：
優點：（1）援引恰當，分析切合經濟學原理
（2） 結果作圖表示，直觀簡明
缺點：（1）真正的「等價交換」難以實現，「無差別曲線」也並非無差別。
（2）模型理想化，導致結果與實際情況略有出入。
根據此題中某些結論，人們可以更加合理的安排工作時間，取得最佳工作效果，同時獲得最滿意的薪水。
「無差別曲線」不僅可以用來表示抽象物品交換（如本問題中勞動力與工資），在現實生活中更是發揮著重要作用，時刻指導並規範著我們在生產、消費、投資等經濟生活中的行為。
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