四川理工學院
數學模型課程設計報告
設計題目: 牙膏的銷售量
專業: 數學與應用數學
班級: 2011級2班
組員:四川理工學院數學系
課程設計任務書
專業： 數學與應用數學班級： 應數1102
課程名稱： 牙膏銷售量
學生姓名：
發題時間： 2013 年 6 月 15 日
一、 課題名稱：牙膏銷售量
二、 課題條件
參考文獻：：1，化學工業出版社，丁毓峰等《matlab從入門到精通第一版。
2，高等教育出版社，姜起源等《數學模型》第四版。
三、 設計任務
本文從收集有關牙膏的銷售量開始，從牙膏銷售量和**、廣告投入之間的關係出發，分別通過對這三個方面的深入研究從而制定出各自的最佳方案，最後再綜合這三個主要因素，進一步深入並細化，從而求得最優解。
四、說明書設計（或**）內容
摘要內容 ：本文從收集有關牙膏的銷售量開始，從牙膏銷售量和**、廣告投入之間的關係出發，分別通過對這三個方面的深入研究從而制定出各自的最佳方案， 最後再綜合這三個主要因素，進一步深入並細化，從而求得最優解。
模組ⅰ中，我們假設在x1和x2對y的影響獨立，從而得到了方程
模組ⅱ中，我們假設x1和x2對y的影響有互動作用，進一步得到新的方程
關鍵詞：線性回歸模型相關係數
問題重述：某大型牙膏製造企業為了更好的拓展產品市場，有效地管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據市場調查，找出公司生產的牙膏銷售量**，廣告投入等之間的關係，從而**出在不同**和廣告費用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過去30個銷售週期（每個銷售週期為4周）公司生產的牙膏銷量，銷售**，投入的廣告費用，以及同期其他廠家生產的同類牙膏的平均銷售**，見表1。
試根據這些資料建立乙個數學模型，分析牙膏銷售量與其他因素的關係，為制定**策略和廣告投入策略提供資料依據。
表1 牙膏銷售量與銷售**，廣告費用等資料
（其中**差指其他廠家平均**與公司銷售**之差）
1.實驗設計方案
1) 前期分析：
由於牙膏是生活必需品，對大多數顧客來說，在購買同類產品的牙膏時更多的會在意不同品牌之間的**差異，而不是它們的**本身。因此，在研究各個因素對銷售量的影響時，用**差代替公司銷售**和其他廠家平均**更為合適。
記牙膏銷售量為y，其他廠家平均**與公司銷售**之差（**差）為x1
公司投入的廣告費用為x2 ,其他廠家平均**與公司銷售**分別為x3和x4 ，x1=x3-x4。基於上面的分析，我們盡利用x1和x2來建立y的**模型。
2) 模型假設：
1 在一定時期內假設市場總需求量沒有太大的變化。
2 同類產品在一定時期內**無明顯變化。
3 通過調節本公司的**調整都能夠達到理想的**差
3) 建立模型：
4) 編寫程式：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
5) 對結果進行分析，討論諸如：結果的合理性、正確性，演算法的收斂性，模型的適用性和通用性，演算法效率與誤差等。
2.基本模型
為了大致分析y與和的關係，首先利用散點圖觀察銷售量y與**差及y與廣告投入量之間的關係。
y與的關係y 與的關係：
圖1 y對散點圖（1圖2 y對的散點圖
從圖（1）發現，隨著增加，y的值有明顯的線性增加趨勢，圖中直線用線性模型
1)擬合的（其中是隨機誤差）在圖2 中，當增大時，y有向上彎曲增加的趨勢，圖中的曲線用二次函式模型：
2）擬合。
綜上分析，結合模型(1)和(2)建立如下回歸模型
3）其中，y是建立的模型，我們用對y進行估計，其中是我們待估計的引數。
3.模型求解
利用matlab統計工具箱中的命令regress求解，使用格式為：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
得到模型(3)的回歸係數的估計值及其置信區間（置信水平）、檢驗統計量，s2的結果見下表2
表 24.結果分析
由表中的資料顯示， =0.9054指因變數的y的90.54%可由模型確定，值遠遠超過檢驗的臨界值，遠遠小於，因而模型（3）可用。
表2的回歸係數給出了模型（3）中，，，的估計值=17.3244， =1.3070， =-3.
6956， =0.3486。檢查它們的置信區間發現，只有的置信區間包含零點（但區間右端點距零點很近），表明回歸變數（對因變數的影響）不是太顯著的，但由於是顯著的，我們仍將變數保留在模型中。
5.銷售量**
經回歸係數的估計值代入模型（3），即可**公司未來某個銷售週期牙膏的銷售量，將**值記為，得到模型（3）的**方程：
= （4）
只需知道該銷售週期的**差和投入的廣告費用，就可以計算**值。
公司無法直接確定**差，只能制定公司的牙膏銷售**，但是其它廠家的平均**一般可以通過根據市場情況及原材料的**變化等估計。模型中用**差做為回歸變數的好處在於公司可以更靈活地來**產品的銷售量或市場需求量，因為其它廠家的平均**不是公司所能控制的。**時只要調整公司的牙膏銷售**達到設定的回歸變數**差的值。
回歸模型的乙個重要應用是，對於給定的回歸變數的取值，可以以一定的置信度**因變數的取值範圍，即**區間。
6.模型改進
模型（3）中回歸變數，對因變數的影響是相互獨立的，即牙膏銷售量的均值和廣告費用的二次關係由回歸係數，確定，而不依賴與**差，同樣，的均值與的線性關係由回歸係數確定，不依賴於。根據經驗可參想，和之間的互動作用會對有影響，簡單的用，的乘積代表他們的互動作用，將模型（3）增加一項，得到：
（5）在這個模型中，的均值與的二次關係為，由係數，，確定，並依賴與**差。
下面讓我們用表1的資料估計模型（5）的係數。利用matlab的統計工具箱得到的結果見表3.
驗統計量，s2的結果見下表1
表 3表3與表2的結果相比，r2有所提高，說明模型（5）比模型（3）有所改進，相信模型（5）更符合實際。
用模型（5）對公司的牙膏銷售量做**，仍設在某個銷售週期中，維持產品的**差x1=0.2元，並投入x2=6.5百萬元的廣告費用，則該週期牙膏銷售量y的估計值為0 + 1x1 +2x2+3x22 +4x1x2 =29.
1133 + 11.134 ×0.2 – 7.
608×6.5 + 0.6712 ×6.
52 -1.4777 ×0.2 ×6.
5 =8.3253百萬支，置信度為95%的**空間為[7.8953,8.
7592]，與模型（3）的結果相比，略有增加，而**區間長度短些。在保持廣告費用x2=6.5百萬元不變的條件下，分別對模型（3）和（5）中牙膏銷售量的均值與**差x1的關係作圖，見圖3和圖4
圖3 模型（3）與x1 的關係圖4 模型（5）與x1 的關係
在保持**差x1=0.2元不變的條件下，分別對模型（3）和（5）中牙膏銷售量的均值與廣告費用x2的關係作圖，見圖5和圖6
圖5 模型（3）與的關係圖6 模型（5）與的關係
可以看出，互動作用項加入模型，對與的關係稍有影響，而與的關係有較大變化，當< 6時出現下降， > 6以後上公升則快得多。
進一步討論： 為了解和之間的相互作用，考察模型（5）的**方程
=29.1133+11.1342 -7.6080 +0.67122 -1.4777 （6）
如果取**差=0.1元，代入（6）可得
=0.1 =30.2267 -7.7558 +0.671227）
再取=0.3元，代入（6）可得
=0.3 =32.4536 -8.0513 +0.671228）
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