§16.3 建立數學模型的方法、步驟、特點及分類
[學習目標]
1.能表述建立數學模型的方法、步驟；
2.能表述建立數學模型的逼真性、可行性、漸進性、強健性、可轉移性、非預製性、條理性、技藝性和侷限性等特點；；
3.能表述數學建模的分類；
4.會採用靈活的表述方法建立數學模型；
5.培養建模的想象力和洞察力。
一、建立數學模型的方法和步驟
—般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分析方法．機理分析是根據對現實物件特性的認識、分析其因果關係，找出反映內部機理的規律,建立的模型常有明確的物理或現實意義.§16.2節的示例都屬於機理分析方法。
測試分折將研究物件視為乙個「黑箱」系統，內部機理無法直接尋求，可以測量系統的輸人輸出資料、並以此為基礎運用統計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出乙個與資料擬合得最好的模型。這種方法稱為系統辨識(system identification)．將這兩種方法結合起來也是常用的建模方法。即用機理分析建立模型的結構，用系統辨識確定模型的引數．
可以看出，用上面的哪一類方法建模主要是根據我們對研究物件的了解程度和建模目的決定的．如果掌握了機理方面的一定知識，模型也要求具有反映內部特性的物理意義。那麼應該以機理分析方法為主．當然,若需要模型引數的具體數值，還可以用系統辨識或其他統計方法得到．如果物件的內部機理基本上沒掌握，模型也不用於分析內部特性,譬如僅用來做輸出預報，則可以系統辯識方法為主．系統辨識是一門專門學科，需要一定的控制理論和隨機過程方面的知識．以下所謂建模方法只指機理分析。
建模要經過哪些步驟並沒有一定的模式，通常與實際問題的性質、建模的目的等有關，從
§16.2節的幾個例子也可以看出這點．下面給出建模的—般步驟，如圖16-5所示．
圖16-5 建模步驟示意圖
模型準備首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的蒐集建模必需的各種資訊如現象、資料等，盡量弄清物件的特徵,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準備工作．情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.
模型假設根據物件的特徵和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，乙個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型．假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗，於是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把複雜物件的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續下一步的工作．通常，作假設的依據，一是出於對問題內在規律的認識，二是來自對資料或現象的分析，也可以是二者的綜合．作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善於辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，捨棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化．經驗在這裡也常起重要作用．寫出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那樣．
模型構成根據所作的假設分析物件的因果關係，利用物件的內在規律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變數)之間的等式(或不等式)關係或其他數學結構．這裡除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數學學科門門精通,而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似模擬法，即根據不同物件的某些相似性，借用已知領域的數學模型，也是構造模型的一種方法．建模時還應遵循的乙個原則是，盡量採用簡單的數學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數專家欣賞.
模型求解可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術．
模型分析對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變數間的依賴關係或穩定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出數學上的最優決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對資料的穩定性或靈敏性分析等．
模型檢驗把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，並用實際的現象、資料與之比較，檢驗模型的合理性和適用性．這一步對於建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態度來對待．當然，有些模型如核戰爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了．模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經過幾次反覆，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意．
模型應用應用的方式自然取決於問題的性質和建模的目的，這方面的內容不是本書討論的範圍。
應當指出，並不是所有建模過程都要經過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那麼分明．建模時不應拘泥於形式上的按部就班，本書的建模例項就採取了靈活的表述方式．
二、數學模型的特點
我們已經看到建模是利用數學工具解決實際問題的重要手段。數學模型有許多優點，也有弱點。建模需要相當豐富的知識、經驗和各方面的能力，同時應注意掌握分寸．下面歸納出數學模型的若干特點，以期在學習過程中逐步領會．
模型的逼真性和可行性一般說來總是希望模型盡可能逼近研究物件，但是乙個非常逼真的模型在數學上常常是難於處理的，因而不容易達到通過建模對現實物件進行分析、預報、決策或者控制的目的，即實用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越複雜，即使數學上能處理，這樣的模型應用時所需要的「費用」也相當高，而高「費用」不一定與複雜模型取得的「效益」相匹配．所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性，「費用」與「效益」之間做出折衷和抉擇．
模型的漸進性稍微複雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，要經過上一節描述的建模過程的反覆迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型．在科學發展過程中隨著人們認識和實踐能力的提高，各門學科中的數學模型也存在著乙個不斷完善或者推陳出新的過程．從19世紀力學、熱學、電學等許多學科由牛頓力學的模型主宰，到20世紀愛因斯坦相對論模型的建立，是模型漸進性的明顯例證．
模型的強健性模型的結構和引數常常是由物件的資訊如觀測資料確定的，而觀測資料是允許有誤差的．乙個好的模型應該具有下述意義的強健性：當觀測資料(或其他資訊)有微小改變時，模型結構和引數只有微小變化，並且一般也應導致模型求解的結果有微小變化．
模型的可轉移性模型是現實物件抽象化、理想化的產物，它不為物件的所屬領域所獨有，可以轉移到另外的領域．在生態、經濟、社會等領域內建模就常常借用物理領域中的模型．模型的這種性質顯示了它的應用的極端廣泛性．
模型的非預製性雖然已經發展了許多應用廣泛的模型，但是實際問題是各種各樣、變化萬千的，不可能要求把各種模型做成預製品供你在建模時使用。模型的這種非預製性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題(open—end problem)．在建立新的模型的過程中甚至會伴隨著新的數學方法或數學概念的產生．
模型的條理性從建模的角度考慮問題可以促使人們對現實物件的分析更全面、更深入、更具條理性，這樣即使建立的模型由於種種原因尚未達到實用的程度，對問題的研究也是有利的。
模型的技藝性建模的方法與其他一些數學方法如方程解法、規劃解法等是根本不同的，無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧．有入說。建模目前與其是一門技術、不如說是一種藝術．是技藝性很強的技巧．經驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數學知識更大．
模型的侷限性這裡有幾方面的含義．第一，由數學模型得到的結論雖然具有通用性和精確性，但是因為模型是現實物件簡化、理想化的產物，所以一旦將模型的結論應用於實際問題，就回到了現實世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，於是結論的通用性和精確性只是相對的和近似的．第二，由於人們認識能力和科學技術包括數學本身發展水平的限制，還有不少實際問題很難得到有著實用價值的數學模型．如一些內部機理複雜、影響因素眾多、測量手段不夠完善、技藝性較強的生產過程，像生鐵冶煉過程，需要開發專家系統，與建立數學模型相結合才能獲得較滿意的應用效果．專家系統是一種計算機軟體系統，它總結專家的知識和經驗，模擬人類的邏輯思維過程，建立若干規則和推理途徑，主要是定性地分析各種實際現象並做出判斷．專家系統可以看成計算機模擬的新發展．第三，還有些領域中的問題今天尚未發展到用建模方法尋求數量規律的階段，如中醫診斷過程，目前所謂計算機輔助診斷也是屬於總結著名中醫的豐富臨床經驗的專家系統．
建模過程是一種創造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬於形象思維、邏輯思維範疇的能力之外，直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。當由於各種限制利用已有知識難以對研究物件做出有效的推理和判斷時，憑藉相似、模擬、猜測、外推等思維方式及不完整、不連續、不嚴密的，帶啟發性的直覺和靈感，去「戰略性」地認識物件，是人類創造性思維的特點之一，也是人腦比按程式邏輯工作的計算機、機械人的高明之處．歷史上不乏在科學家的直覺和靈感的火花中誕生的假說、論證和定律．當然，直覺和靈感不是憑空產生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進行反覆思考和艱苦探索，對各種思維方法運用嫻熟．相互討論和思想交鋒，特別是不同專業的成員之間的**，是激發直覺和靈感的重要因素．所以由各種專門人才組成的所謂團隊工作方式(team work)越來越受到重視．
前面說過，建模可以看成一門藝術．藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的．一名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實踐．類似地，掌握建模這門藝術培養想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動手，認真做幾個實際題目．
三、數學模型的分類
數學模型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種．
1.按照模型的應用領域(或所屬學科)分．如人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、城鎮規劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、汙染模型等．範疇更大一些則形成許多邊緣學科如生物數學、醫學數學、地質數學、數量經濟學、數學社會學等．
2.按照建立模型的數學方法(或所屬數學分支)分．如初等數學模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規劃論模型等．
按第一種方法分類的數學模型教科書中，著重於某一專門領域中用不同方法建立模型，而按第二種方法分類的書裡，是用屬於不同領域的現成的數學模型來解釋某種數學技巧的應用．在本書中我們重點放在如何應用讀者已具備的基本數學知識在各個不同領域中建模．
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