一．課標要求：
1．數列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的例項，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、影象、通項公式），了解數列是一種特殊函式；
2．通過例項，理解等差數列的概念，探索並掌握等差數列的通項公式與前n項和的公式；
3．能在具體的問題情境中，發現數列的等差關係，並能用有關知識解決相應的問題。體會等差數列與一次函式的關係。
二．命題走向
數列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和乙個解答題。對於本將來講，客觀性題目主要考察數列、等差數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質的靈活應用，對基本的計算技能要求比較高。
**09年高考：
1．題型既有靈活考察基礎知識的選擇、填空，又有關於數列推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題；
2．知識交匯的題目一般是數列與函式、不等式、解析幾何、應用問題聯絡的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。
三．要點精講
1．數列的概念
（1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；
數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第乙個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為的項叫第項（也叫通項）記作；
數列的一般形式簡記作。
（2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關係可以用乙個公式表示，那麼這個公式就叫這個數列的通項公式。
例如，數列①的通項公式是=（7，），數列②的通項公式是=（）。
說明：①表示數列，表示數列中的第項， =表示數列的通項公式；② 同乙個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如不是每個數列都有通項公式。
例如，1，1.4，1.41，1.
414，……
（3）數列的函式特徵與圖象表示：
序號：1 2 3 4 5 6
項 ：4 5 6 7 8 9
上面每一項序號與這一項的對應關係可看成是乙個序號集合到另乙個數集的對映。從函式觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函式當自變數從1開始依次取值時對應的一系列函式值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。
（4）數列分類：①按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；②按數列項與項之間的大小關係分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列。
（5）遞推公式定義：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關係可以用乙個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的遞推公式。
2．等差數列
（1）等差數列定義：一般地，如果乙個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。
（2）等差數列的通項公式：；
說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性： 為遞增數列，為常數列， 為遞減數列。
（3）等差中項的概念：
定義：如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項。其中成等差數列。
（4）等差數列的前和的求和公式：。
四．典例解析
題型1：數列概念
（2008廣東文4）
例1．記等差數列的前項和為，若，則該數列的公差（ ）
a、2 b、3 c、6 d、7
【解析】,選b.
2.根據數列前4項，寫出它的通項公式：
（1）1，3，5，7……；
（2），，，；
（3），，，。
解析：（1）=2； （2）=； （3）=。
點評：每一項序號與這一項的對應關係可看成是乙個序號到另乙個數集的對應關係，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。
例2．數列中，已知，
（1）寫出，，； （2）是否是數列中的項？若是，是第幾項？
解析：（1）∵，∴ ，
， ；（2）令，解方程得，
∵，∴， 即為該數列的第15項。
點評：該題考察數列通項的定義，會判斷數列項的歸屬。
題型2：數列的遞推公式
例3．如圖,一粒子在區域上運動,在第一秒內它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動乙個單位長度。
（1）設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式；
（2）求粒子從原點運動到點時所需的時間；
（3）粒子從原點開始運動，求經過2004秒後，它所處的座標。
解析：(1) 由圖形可設，當粒子從原點到達時，明顯有
∴＝,。,。
,,即（2）有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經過得時間再加（44－16）＝28秒，
所以秒。
（3）由2004，解得，取最大得n=44，
經計算，得＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經過1980秒後到達點，再向左執行24秒所到達的點的座標為（20，44）。
點評：從起始項入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數列的遞推關係式，這是解答數列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在。
例4．（1）已知數列適合：， ，寫出前五項並寫出其通項公式；
（2）用上面的數列，通過等式構造新數列，寫出，並寫出的前5項。
解：（1
（2），
點評：會根據數列的前幾項寫出數列的乙個通項公式，了解遞推公式是給出數列的又一種重要方法，能根據遞推公式寫出數列的前幾項。
題型3：數列的應用
例5．湖南省2008屆十二校聯考第一次考試
如果乙個數列的各項都是實數，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．
(1)設數列是公方差為的等方差數列，求和的關係式；
(2)若數列既是等方差數列，又是等差數列，證明該數列為常數列；
(3) 設數列是首項為，公方差為的等方差數列，若將這種順
序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數．
(1)解：由等方差數列的定義可知： ………………5分
(2)證法一：∵是等差數列，設公差為，則
又是等方差數列7分
∴即10分
∴，即是常數列11分
證法二：∵是等差數列，設公差為，則……
又是等方差數列，設公方差為，則………………7分代入得，……
同理有，……
兩式相減得：即10分
∴，即是常數列11分
證法三：（接證法二、）
由、得出：若，則是常數列8分
若， 則是常數, ∴，矛盾…………10分
∴ 是常數列11分
(3)依題意，，
， ∴，或13分
即該密碼的第乙個數確定的方法數是，其餘每個數都有「正」或「負」兩種
確定方法，當每個數確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數是種，
故，這種密碼共種16分
。點評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉化為數列模型來處理。
例6．在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計資料如下表.觀察表中資料的特點，用適當的數填入表中空白（_____）內。
答案：140 85
解析：從題目所給資料規律可以看到：收縮壓是等差數列.
舒張壓的資料變化也很有規律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3公釐、2公釐，…照此規律，60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140；85.
點評：本題以實際問題為背景，考查了如何把實際生活中的問題轉化為數學問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數學意識，有效地把數學過程實施為數學思維活動。
題型4：等差數列的概念
例7．設sn是數列的前n項和，且sn=n2，則是（ ）
a.等比數列，但不是等差數列b.等差數列，但不是等比數列
c.等差數列，而且也是等比數列d.既非等比數列又非等差數列
答案：b；
解法一：an=
∴an=2n－1（n∈n）
又an+1－an=2為常數，≠常數
∴是等差數列，但不是等比數列.
解法二：如果乙個數列的和是乙個沒有常數項的關於n的二次函式，則這個數列一定是等差數列。
點評：本題主要考查等差數列、等比數列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=sn－sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。
例8．設數列、、滿足：，（n=1,2,3,…），證明：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1,2,3,…）
證明：必要性：設數列是公差為的等差數列，則：
==-=0，
∴（n=1,2,3,…）成立；
又=6（常數）（n=1,2,3,…）
∴數列為等差數列。
充分性：設數列是公差為的等差數列，且（n=1,2,3,…），
①－②得：=∵
∴……③ 從而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1,2,3,…），
由此，不妨設（n=1,2,3,…），則（常數）
故……⑥
從而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常數）（n=1,2,3,…），
∴數列為等差數列。
綜上所述：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1,2,3,…）。
證法二：
令an = a n+1- a n，由b n≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3。
從而a n+1- a n≥a n+3 - a n+2,即an≥an+2（n=1,2,3,…）
由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得
c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即
an+2an+1+3an+2=d2
低端數列的概念及等差數列的性質
1 設數列的通項公式為，則 a 153b 210c 135d 120 2 在等差數列中，若，則等於 a 1 b 1 c 2 d 2 3 在等差數列中，n 則 4 已知數列滿足，則 a 0 b c d 5 abc中，a b c分別為 a b c的對邊.如果a b c成等差數列，b 30 abc的面積為...
等差數列二
班級姓名 編寫人 孫淑萍審核人 梁慶玲審批人 劉海剛 使用說明 1 課前完成預習學案，牢記基礎知識，掌握基本題型 2 認真限時完成，規範書寫 課上小組合作 答疑解惑。一 複習舊知 1 等差數列 2 等差數列的通項公式 3 有幾種方法可以計算公差d 二 講授新課 例1 在等差數列中，為公差，若且 求證...
數列與等差數列
1 數列的概念 1 數列的定義 按一定次序排列成的一列數叫做數列.數列中的每乙個數都叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項 或首項 第2項，第項，記作 第項記作.數列的一般形式為，簡記為.二 數列的通項公式 如果數列的第項與序號之間的關係可以用乙個公式來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公...