考綱要求
1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函式的可導性與連續性之間的關係.
2.掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，掌握基本初等函式的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函式的微分.
3.了解高階導數的概念，會求簡單函式的高階導數.
4.會求分段函式的導數.會求隱函式和由引數方程確定的函式以及反函式的導數.
5.理解並會用羅爾（rolle）定理、拉格朗日（lagrange）中值定理和泰勒（taylor）定理,了解並會用柯西（cauchy）中值定理.
6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.
7.理解函式的極值概念，掌握用導數判斷函式的單調性和求函式的極值的方法，掌握函式最大值和最小值的求法及其簡單的應用.
8.會用導數判斷函式圖形的凸性，會求函式圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線.
9.了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.
一、導數與微分
問題1 敘述導數、微分的定義與幾何意義
答 1.導數的定義函式在點處的導數
.函式在點處左導數，
函式在點處右導數，
函式在點處可導；
導數的幾何意義：若函式在點處可導，則表示曲線在點（其中）處的切線的斜率，曲線在點處的切線的方程為
.2.微分的定義設，如果，則稱函式在點可微，並稱為在點的微分.當在點可微時，有.
當是曲線上的點的縱座標的增量時，就是曲線的切線上的點的縱座標的相應增量.
3. 函式在點處有極限、連續、可導、可微的關係是
[, , , , , , ]
例1.函式在點處可導與極限存在有何關係？
2.函式在點處可導與極限存在有何關係？
問題2 如何求曲線的切線？
答關鍵是求出切點和斜率.
例1.曲線上與直線垂直的切線方程為 .（，04-1）
2.設函式由方程所確定，則曲線在點處的切線方程為 .（，03-2）
3.設在連續，且，則曲線在點處的切線方程為 .【】
問題3 敘述求導公式與法則.
答 1.基本初等函式導數公式（16個）
⒀ ⒁
⒂ ⒃
2.求導法則
定理1 （函式的四則運算的求導法則） 設在點可導，則它們的和、差、積、商在點可導，且
⑴；⑵；
⑶；⑷，()
定理2 （反函式的導數） 若函式在區間內單調可導，且導數，則它的反函式在對應區間內單調可導，且.
定理3 （復合導數求導法則） 若在點處可導，在點處可導,則復合函式在點處可導，且
.注使用復合函式求導法則的步驟：
⑴將函式讀作的基本初等函式；
⑵對求導，乘以對的導數.
定理4（萊布尼茨公式）
.問題5 如何求各類函式的導數（或者微分）
答求導運算是最基本的運算，也是考試中涉及最多的運算，讀者必須熟練掌握求導公式、求導法則（四則運算法則、復合函式求導法則）以及各種函式的
一、二階導數的求法：
⑴初等函式（正確使用求導公式與法則）
⑵分段函式（分段點必須用定義求導）
⑶隱函式（兩邊求導法、公式法）
⑷引數方程確定的函式（利用導數公式：，）
⑸抽象函式（正確使用導數記號，注意和的區別）
⑹冪指函式（對數求導法）
⑺反函式（導數公式：）
例 1.，求
解 【熟練掌握復合函式求導法則】，，
，故.2.設，則 .
解 ，
.3.設，求.
解 【用兩邊求導法】
方程兩邊對求導，得 ⑴
將代入⑴，得；
⑴式兩邊對求導，得
，⑵將代入⑵，得..
4.設由所確定，求.
解 【用隱函式求導公式】
由確定，
.5.設二階可導，且，，求.
解 【用引數式求導公式】
，.6.設與互為反函式，且三階可導，試用表示.
解 【利用反函式求導公式和復合函式求導法則】
，上式兩邊對求導，；
上式兩邊再對求導，.
7.已知函式具有二階導數，且，函式由方程所確定，設，求，.（07-2）
解 ，
，方程兩邊對求導，得，⑴
將代入⑴式，得
⑴式兩邊對求導，得
，⑵將代入⑵式，得，
故，.問題6 如何求分段函式的導數
答分段函式的導數是重點，也是常考點，讀者務必通過例題熟練掌握分段函式的求導方法，切記分段函式分段點必須用定義求導.
例1.設，其中在上具有二階連續導數，且，求並討論的連續性.
解時，；
，故在連續，又在連續，所以在上連續.
2．設在連續，討論在處的可導性.
3．設在上有定義，且，，且有，問為何值時，在處可導？
問題7 哪些情形要用定義求導？
答除了分段函式分段點必須用定義求導外，某些抽象函式也必須用定義求導. 此外，求某些初等函式在一點處的導數，用定義求導較為簡單.
例1.設，則100!】
2.設恆成立，，則
3.設在有定義，，且，有，求
解 ，
，，又，
故.問題8 如何求函式的階導數？
答求階導數的方法有
⑴歸納法依次求出，等，觀察其規律，寫出；
⑵分解法將函式分解為某些簡單函式之和；
⑶用萊布尼茨公式求乘積的階導數；
⑷用泰勒公式求.
例1.設，求.【】
2.設，求.【】
問題9 如何判別函式的單調性？
答根據函式單調性判別法知，函式單調區間的分界點是其導函式的零點（稱為函式的駐點）或者導數不存在的點.
判別函式單調性的步驟是：
⑴求出函式的駐點和不可導點；
⑵用這些點將函式的定義域分成若干小區間；
⑶確定各小區間上導數的符號（列表）；
⑷判別函式在各小區間上的單調性.
例1.證明在上單調增加.
2.設在上二次可導且，,證明在上單調減少.
問題10 如何求函式的極值？
答根據極值的必要條件知，函式的極值只能在駐點和不可導點取得.
求極值的步驟是：
⑴求出函式的駐點和不可導點；
⑵用這些點將函式的定義域分成若干小區間；
⑶確定各小區間上導數的符號（列表）；
⑷用第一充分條件判別函式在這些點是是否取得極值，是極大值還是極小值.
注對於駐點，也可以用第二充分條件判別.
例1.滿足，, ,則在處（ ）.
（a）有極大值 （b）有極小值 （c）在某鄰域內遞增 （d）在某鄰域內遞減 (a)
2.設由方程確定，求的極值點.（極小點）
3.已知函式對一切滿足，且，證明是的極小值.
問題11 如何判別曲線的凸凹性和拐點？
答根據凸凹性判別法和拐點定義知，曲線凸凹部分的分界點（拐點）只能是二階導數為零或者不存在的點.
判別函式的凸凹性和拐點的步驟是：
⑴求出函式二階導數為零或者不存在的點；
⑵用這些點將函式的定義域分成若干小區間；
⑶確定各小區間上二階導數的符號（列表）；
⑷判別函式在各小區間上的凸凹性及這些點是否拐點.
例1.求的單調區間、極值、凹凸區間及拐點.
2.設有三階連續導數，且，問是否極值點？是否拐點？證明你的結論.
【結論設有階連續導數，且，，則
⑴當為奇數時，不是極值點，是拐點；
⑵當為偶數時，是極值點，不是拐點】
問題12 如何求函式的最值？
答求函式的最值是重點，務必熟練掌握求最值的方法.
分兩種情形：
⑴若在上連續，則求出函式在駐點，不可導點、端點處的函式值，其中最大（小）的為最大（小）值.
⑵若在區間內可導且只有惟一極值，則極小值就是最小值，極大值就是最大值.
注實際問題根據題意判別.
例1.在拋物線上的第一象限部分求一點，過點作切線，使該切線與座標軸所圍成的三角形面積最小。
解設切點為，切線方程為
， ，，
三角形面積，，，
，，故當時，三角形面積最小，點為.
2.作半徑為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積最小？
解圓錐的體積，其中為圓錐的底半徑，
又，，，令，得，
又，，故當時，此圓錐體積最小.
問題13 如何求曲線的曲率？
答根據曲線的曲率公式，關鍵是求函式的
一、二階導數.
問題14 敘述微分中值定理.
答微分中值定理是微積分理論的重要組成部分，它們建立了函式與導數的聯絡，從而可以用導數研究函式. 微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，敘述如下：
定理1（羅爾定理）如滿足：
（1）在上連續，
（2）在內可導，
（3），
則至少存在一點，使得.
定理2（拉格朗日中值定理） 設在上連續，在內可導，則至少存在一點，使.
定理3（柯西中值定理） 設在上連續，在內可導，且，
則至少存在一點，使.例
1.設在上連續，在內可導，證明：，使.
【提示：對用拉格朗日中值定理】
2. 設在上連續，在內可導，且，證明：
，使得.
3.設在上連續，在內可導，且，證明：
，使.4.設在上連續，在內可導，且，證明：
，使得，其中為正整數.
問題15 如何證明（討論）關於方程的根（函式的零點）問題？
答函式的零點（方程的根）是重點，也是常考點，務必通過例題熟練掌握證明（討論）函式零點問題的方法.
1.零點的存在性證明，即證明存在一點滿足乙個等式（用零點定理或者羅爾定理）
基本思路：⑴將等式中的改為，得到方程；
⑵驗證是否滿足零點定理條件；
⑶若滿足，則結論成立，否則將方程改為；
⑷求出輔助函式（積分）；
⑸驗證rolle定理條件，從而得出結論.
注利用羅爾定理證明零點問題，難點是構造輔助函式. 請記住下面的常用結論：
2.惟一性證明
基本思路先證明存在性，再證明單調性或者先證明存在性，再利用反證法.
3.零點個數的討論
基本思路先求單調區間，再用零點定理.
例1.設在上連續，在內可導，且，，.證明：方程在內有且僅有乙個實根.
證 【惟一性問題，用零點定理和反證法】
導數及其應用
知識 方法點撥 導數的應用極其廣泛，是研究函式性質 證明不等式 研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題 分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數是初等數學與高等數學緊密銜接的重要內容，體現了高等數學思想及方法。1 重視導數的實際背景。導數概念本身有著豐富的實際意義，對導數概...
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響水二中高三數學 理 一輪複習學案第三編導數及其應用主備人張靈芝總第13期 3.2 導數的應用 班級姓名等第 基礎自測 1.函式y f x 的圖象過原點且它的導函式g f x 的圖象是如圖所示的一條直線，則y f x 圖象的頂點在第象限.2.已知對任意實數x,有f x f x g x g x 且x ...
五導數及其應用
五導數及其應用 選修2 2 1 平均變化率 瞬時變化率 2 導 函 數定義 y f x y x x0 f x0稱它為函式y f x 3 導數運算法則 1 f x g x2 f x g x 34 cf x 4 常用導數公式 c xnkx sinxcosx axex logaxlnx 5 復合函式導數求...