教學目的：
1.熟練掌握可測函式的定義及其基本性質，可測函式的一些重要性質.
2.掌握通過egoroff定理證明lusin定理,它表明lebesgue可測函式可以用性質較好的連續函式逼近.
3.掌握幾乎處處收斂,依測度收斂和幾乎一致收斂，以及幾種收斂性之間的蘊涵關係.通過學習使學生對可測函式列的幾種收斂性和相互關係有乙個較全面的了解.
重點難點：
1.可測函式有若干等價的定義.它是一類範圍廣泛的函式,並且有很好的運算封閉性.
2.可測函式可以用簡單函式逼近,這是可測函式的構造性特徵.
3.引進的幾種收斂是伴隨測度的建立而產生的新的收斂性.一方面, l 可測集上的連續函式是可測的,另一方面,lusin 定理表明, lebesgue 可測函式可以用連續函式逼近.
lusin 定理有兩個等價形式.
4.依測度收斂是一種全新的收斂,與熟知的處處收斂有很大的差異.egoroff定理和riesz定理等揭示了這幾種收斂之間的關係.
riesz定理在幾乎處處收斂和較難處理的依測度收斂之間架起了一座橋梁.
§4.1 可測函式及相關性質
由於建立積分的需要，我們還必須引進一類重要的函式——lebesgue 可測函式，並討論其性質和結構.
設是可測集上的函式,若對任何,是可測集,則稱是可測集上的可測函式.
我們知道,在上連續,、都是開集.所以由可測函式的定義,區間上的連續函式是可測函式.
又如:設是的可測子集.則上的特徵函式為
由於是可測集,所以是上的可測函式.即
定理4.1.1 可測集的特徵函式是可測的.
今後,在不致混淆時,將簡記為.類似, 、
、、、等的意義同上.
問:定義中可否換成?答:可以.
定理4.1.2 設函式定義在可測集上,則下面四件事等價.
(i)在上可測;
(ii)對任何,可測;
(iii)對任何,可測;
(iv)對任何,可測.
其證明就是利用集合的運算.
證明:(i)(ii) ,由(i), 可測,從而可測,即可測.同理可證
(ii)(iii)
(iii)(iv)
(iv)(i)
定理4.1.3 設函式和都是可測集上的可測函式,則
(i)、、、、都是可測集,其中,是廣義實數.
(ii)是可測集.
證明: (i)先設是實數,則是可測集;
若,則可測;
若,則可測.
可見, 對任何廣義實數,是可測集.
對於其它集的可測性由定理3.1.2與集合的運算立即可得.
(ii)分析:,使,若,則,可,不管怎樣,、之間可以插進有理數.即:若是有理數全體,則
再利用函式和都是可測函式,可得右側為可測集,即是可測集.
在數學分析中,我們已經知道連續函式對於極限運算不封閉,即連續函式的極限可能不是連續函式,只有一致收斂的連續函式列的極限函式連續,否則未必.
如:,.
不連續.而可測函式對於極限運算是封閉的,這點也體現了它的優越性.
定理4.1.4 設是可測集上的一列可測函式,則函式、、、都是可測函式.
證明:任取,則可測.(此等式表明至少有乙個,否則都,就說明為上界,由上確界是最小上界,便會得出)
可測.(至少有乙個,否則都,為下界,其最大下界)
再由、知、都是可測函式.
(的上極限,;的下極限,)
實變函式的第乙個「差不多」是可測集與開集、閉集差不多;第二個「差不多」就是可測函式與連續函式差不多. 為研究實變函式中的第二個「差不多」,前述內容中最重要的是定理4.1.
4—可測函式對極限運算封閉.
§4.2 可測函式的其它性質
設是可測集,是乙個與中每一點有關的命題.若除了的乙個零測子集外,使對每一都成立,則稱在上幾乎處處成立,用表示.(即almost everywhere).
例如,在r上幾乎處處收斂於0或說在r(因為只有時,極限不為0,其為可數集,當然為零測集);cantor集上的特徵函式 在(因為cantor集為零測集).
若說在r上有限,意即不有限的點的集合為零測集.
為講第二個「差不多」 ,先講連續函式,其值域為區間.
數學分析中求r積分時,把曲的變成直的,
並稱其為階梯函式,此處我們稱為簡單函式,
它是由特徵函式決定的.
設是可測集d上的乙個函式,若
是由有限個實數,,…,組成,並且
都是可測集,則我們稱是d上的乙個簡單函式.由此可以表示為
其中可記作,為上的特徵函式.
由可測函式定義,簡單函式都是可測的.(定理3.3.4至多可數個可測集之並可測).
易知,若、都是簡單函式,則、、、、等都是簡單函式(因其值域是有限個實數),當然都是可測的.
下面說明可測函式一定是簡單函式的極限.
定理4.2.1 設是可測集d上的可測函式,則有d上的簡單函式列,使對每一,,此外
(i)當時,可使上述滿足對每一,單增收斂於;
(ii)當有界時, 可使上述在d上一致收斂於.
(即對任何,有,,有)
提問:試舉例說明,一列函式在每一點都收斂於,但不一致收斂.
答:如 ,則 ,這時在每一點都收斂,但不一致收斂.其原因是極限函式不連續.
上述定理說明,可測函式和簡單函式「差不多」.通過上圖,我們形象地描述一下上述定理的證明思路.
第一次:在-1和1之間取階梯函式,每段長;
第二次:在-2和2之間取階梯函式,每段長,其中-1和1之間是將第一次的段分一半,分細了,這段的一部分向上移了,所以-1和1之間的第二個階梯函式部分比第乙個大……,即
(的取法可由中間一段得出,因此時必在-1和1之間,左等右不等,由得,由得,所以.第二次的取法類似).
證明:對每一,令
(i)顯然是一列簡單函式,現固定.
若,則對每一,有,從而;
若,則對每一,有,從而;
最後,若是乙個實數,則當充分大時,存在唯一的,使得
,並且於是,.令,即得.
特別,設非負.由的構造方法(如圖x軸上方),易知:單增.
(ii)最後若有界,是的乙個上界,則當時,及都是空集,從而對一切,有,故一致收斂於.
注1.由可測函式的定義,在可測集d上是否可測,與在d上的乙個零測子集上的值無關.
可測是可測集.
若,,即使在上亂動,對可測沒有影響.即只要在上可測,就說在上可測(在上無定義也可).
說明:若 ,則當,中有乙個可測時,另乙個也可測.而連續函式斤斤計較,動一點則不連續.
注2.設是d上的可測函式列, ,.若對每乙個,
,由定理4.1.4知在上可測,從而由注1, 在上可測.這個結論也可以說成「可測函式列在d上幾乎處處收斂的極限在d上可測」.
注3.設和都是d上的可測函式,若對某,,且或且,則就沒有意義.但如果所有使沒有定義的點的全體是零測集,則我們同樣可以討論的可測性,對也如此.
定理4.2.2 設和都是可測集d上的可測函式,是實數,則、、都是可測函式.此外若和幾乎處處有定義,則它們也是可測的.
證明思路.以為例.因是可測集d上的可測函式,從而有簡單函式列,進而簡單函式列,所以極限函式可測.
再如證可測,由已知,因,,、為簡單函式列,所以也是簡單函式列,且,因此極限函式可測.
一定注意:可測與否與零測集無關.
例題4.2.1 上的實函式是否一定可測?
答:不一定.找中的不可測子集,其上的特徵函式不可測.即:取不可測集合,令
則 ——→不可測.
所以在上不可測.
例題4.2.2 零測集上的實函式是否一定可測?
答:因,故也是零測集,從而零測集上的實函式一定可測.
例題4.2.3 設,其中可測,.若在上可測,是否在上可測?
答:可測.
複述定理4.2.1
在d上可測有d上的簡單函式列,且
(i)時,
(ii)當有界時, .
之後三個「注」說明可測函式與零測集無關.這樣,若可測函式列 則是可測函式.可見,對可測函式來說,總的要求是寬的.
重複定理4.2.2
設和都是可測集d上的可測函式,是實數,則、、都是可測函式.此外若和幾乎處處有定義,則它們也是可測的.
什麼叫幾乎處處有定義?
即是零測集.
其證明思路:
①可測函式一定是一列簡單函式列處處收斂的極限.
②也可用定義.如由或來證.
此處用方法①最清楚.
簡單函式,,則,,
,(簡單函式是處處有定義的,有限個實數是其值域,無的情況,簡單函式不允許取)在可測,,由注1, 在d可測(即例題3).
例題4.2.4 在d上可測,在d上是否可測?
答:因可測,則有簡單函式列
所以由於是簡單函式,取有限個實數,當然也取有限個實數,因而也是簡單函式,所以可測.
由此可見,不光可測函式的「＋、－、×、數乘、絕對值」可測,還有些復合函式也可測,但復合函式比較複雜.連續故必可測.但若隨便問可測嗎?一下子說不清楚.
、可測,則有簡單函式、,這時也是簡單函式,但?
若連續,有
若不連續,則沒有,更不用說了.
所以,連續函式的復合還連續,而可測函式的復合卻不一定可測.
要點: 1.可測函式與零測集無關.
2.可測函式是簡單函式列處處收斂的極限.
§4.3 可測函式用連續函式來逼近
稱是乙個緊集,若的任何開覆蓋存在有限子覆蓋.其充分必要條件是是有界閉集.
定理4.3.1 設是乙個緊集,是一列沿f連續的函式.若在上一致收斂於,則也沿f連續(,).
前面曾提到 ,由極限函式不連續不一致收斂.定理的證明思路與數學分析同.
問: 數分怎樣證明「連續函式在一致收斂連續?」
證明:,,,
若改為也一樣.
本節中非常重要的乙個結果:
定理4.3.2(egoroff)設和都是測度有限的集d上幾乎處處有限的可測函式.
若在d上幾乎處處收斂於,則對任何,有d的閉子集f,使,並且在f上一致收斂於.(也稱基本上一致收斂,有點象數分中的內閉一致收斂)
證明:令,則由條件知,是可測集且.令
(是裡那樣的點: 與有關, 不動,取,現在看這種集合有什麼性質)
對每一,,且每乙個都可測.(首先,每乙個都是子集,由知,也就是要證),易見，這是因為每個,現在對,取,由知,,有,說明,當然.所以,因此,於是得到.即.
第四章小結
第4章非線性方程與非線性方程組的迭代解法 學習小結 一 本章學習體會 在之前的學習中我們基本接觸的都是線性方程和方程組的求解，對於非線性方程和非線性方程組的求解接觸很少。因為在實際應用中非線性方程能接觸解析表示式的很少，對於大多數非線性方程，只能用數值法求解出它的根的近似值。在本章介紹的求解非線性方...
第四章總結
實習總結 2011年02月21日是我踏入中國平安保險公司潮州中心支公司的第一天。我懷著乙份激動和好奇的心情來到中國平安保險財產股份 開始了大學以來的第二次實習實踐活動。現在回想起來，雖然只有短短的乙個半個月的實踐期，但在這段時間裡的的實習中我學到了很多在課堂上學不到的知識,讓我受益匪淺 並且接觸了很...
第四章作業
正確答案 借 長期股權投資 成本 2 010 貸 銀行存款2 010 2 20 7年4月1日，丙公司宣告分派20 6年度的現金股利100萬元。正確答案 借 應收股利20 貸 長期股權投資 成本 20 3 20 7年5月10 日，甲公司收到丙公司分派的20 6年度現金股利。正確答案 借 銀行存款20 ...