一、 知識結構
二、 學習要求
⒈了解復級數的基本概念；
⒉理解解析函式的冪級數表示；
⒊理解收斂圓及收斂半徑的概念；
⒋熟練掌握收斂圓及收斂半徑的求法；
⒌了解解析函式的零點並掌握其判別方法；
⒍熟練掌握將函式在一點展成冪級數的方法；
⒎了解解析函式的唯一性定理，掌握其證明方法。
三、 內容提要
冪級數定義稱形如
4.3）
或4.3）
的級數為冪級數，其中均為復常數。
收斂圓收斂半徑
對於級數（4.3），總存在圓周，使得級數（4.3）在的內部絕對收斂，在的外部發散．我們稱圓為級數（4.3）的收斂圓，稱為級數（4.3）的收斂半徑。
求收斂半徑的方法與數學分析中的方法一樣。
定理4.12 對於級數（4.3），若極限
存在（有限或無限），則極限
存在，並且有
其中的為級數（4.3）的收斂半徑．當時，規定，當時，規定。
解析函式的冪級數表示
定理4.13 設為區域，點，圓含於，若函式在內解析，則在內有
4.5）
其中4.7）
且上述展式是唯一的。
解析函式的零點
定義4.7 設函式在點解析，若，則稱點為的零點，若的零點滿足
，但則稱點為函式的級（階）零點。
計算的零點的級別的方法
定理4.17 點是不恒為零的解析函式的級零點的充分必要條件是
其中，在點解析，且。
解析函式的唯一性
定理4.20 若
⑴函式與在區域內解析。
⑵為內一無窮點集，且在內至少有乙個聚點。
⑶在上成立，則在內成立。
解析函式的唯一性定理可以用來在復平面證明我們過去熟知的一些等式。
四、 典型例題
例1 試將在點展成泰勒級數。
解因為是的唯一有限奇點，所以，可在內展成泰勒級數，有
例2 試判斷點是函式的幾級零點。
解因為所以，若令，則在點解析，且，即滿足定理5.11的條件，故點為函式的二級零點。
例3 判斷級數的斂散性。若收斂需進一步指出是否絕對收斂.
解根據復級數的收斂性可以等效為實部、虛部的收斂性.故考察實、虛部得到
交錯級數的通項絕對值單調趨於零，根據高等數學中實級數的萊布尼茲判別法知該級數收斂；同理交錯級數也收斂. 根據級數收斂的充要條件知原級數收斂.
但是為調和級數是發散的，故原級數是條件收斂級數，而不是絕對收斂級數.
例4 級數收斂，而級數發散，證明冪級數的收斂半徑為1.
證明級數收斂相當於冪級數在處收斂.於是由阿貝爾(abel)定理，對於滿足範圍，冪級數必絕對收斂. 從而該冪級數的收斂半徑不小於1，即為.
但若時，冪級數在收斂圓周內絕對收斂，特別地在處也絕對收斂，即收斂，這顯然與己知條件矛盾.故冪級數的收斂半徑只能是.
實變函式第四章習題解答
第四章習題參考解答 1 設是上的可積函式，如果對於上的任意可測子集，有，試證 證明 因為，而，由已知，又因為，所以，故,從而 即，2.設，都是上的非負可測函式，並且對任意常數，都有 試證 從而，證明 我們證，是同乙個簡單函式序列的極限函式.及，令，並且 則是互不相交的可測集，並且，定義簡單函式 下面...
第四章可測函式
教學目的 1.熟練掌握可測函式的定義及其基本性質，可測函式的一些重要性質.2.掌握通過egoroff定理證明lusin定理,它表明lebesgue可測函式可以用性質較好的連續函式逼近.3.掌握幾乎處處收斂,依測度收斂和幾乎一致收斂，以及幾種收斂性之間的蘊涵關係.通過學習使學生對可測函式列的幾種收斂性...
第四章學習小結
第四章多組分系統熱力學多組分系統熱力學 第一節偏摩爾量 第二節化學勢 第三節氣體組分的化學勢 第四節拉烏爾定律和亨利定律 第五節理想液態混合物 第六節理想稀溶液 第七節稀溶液的依數性 第八節逸度與逸度因子 第九節活度及活度因子 6 2 學時 本章討論溶液的熱力學性質。使學生了解偏摩爾量的概念與意義 ...