第四章習題參考解答
1．設是上的可積函式，如果對於上的任意可測子集，有，試證：，
證明：因為，而，
.由已知，
. 又因為，
所以，.
故, ,從而
.即，，.
2.設，都是上的非負可測函式，並且對任意常數，都有
，試證：，從而，
. 證明：我們證，是同乙個簡單函式序列的極限函式.
及，令，並且
.則是互不相交的可測集，並且，定義簡單函式
. 下面證明：，.
,若，則，，所以，即；若，則可取正整數，時,
.故，存在，
.即，，.
所以，，從而，
.同理，，定義簡單函式列，其中：，..同上一樣可證明：，.
因為，有.故，
.從而，，有
.即，，
.因此.
3.若，計算.
解：設為有理數，，則
. 4.設是中個可測集，若內每一點至少屬於個集中的個集，證明：中至少有乙個測度不小於.
證：令，其中為上的特徵函式，有
，所以.
. 如果每個，則.這與矛盾.從而，
使得. 5.設，都是上的可積函式，試證明：也是上可積函式.
證明：（1）先證：設與都是上的可測函式且，若在可積，則在可積.
事實上，，因為，故，即
，其中：，
.從而是單調遞增有上界的數列，故：
.又因為單調遞增有上界，所以存在，並且
，即.所以在可積.
（2）再證：在上可積.
事實上，因為，在上可積，所以與在上可積，從而+在上可積.
又因為，由（1）。在上可積.
6.設，是上的非負可測函式，，
，試證明：.
證明：，因為，所以
，故. 又因為，由積分的絕對連續性（即，p103，定理4）.
, ,使得對於任何可測集，，恒有
. 對於，由，得，存在，時，，有
，從而.
7.設為可測集，且，為上的非負可測函式，，試證:在上可積當且僅當級數收斂.
證：設，，因為在可積，故
.即，級數收斂.
,因為，
，又又.因為，所以
. 從而，在上可積.
8.設是上的可積函式，證明：.
證明：（1）先證：，存在時直線上的連續函式，使得
.對於，記：
.則：. 則
+ =
. 因為在是可積的，故，，使，
時，恒有，又因為是單調的集列，並且
.從而，
. 所以，對於，，使得.
對於，取，由連續擴張定理（第10頁，定理3），存在閉集及上的連續函式，使得
（i）（ii）
iii) 則
，從而.
(2)再證：
，由（1）知，存在上的連續函式使得，因為在上一致連續，所以使得，時，恒有， +
+. 因為時，，有，故
.所以.
故.9.設是上的非負可積函式，是任意常數，滿足，試證：存在，使得.
證明：設常數，合於，當時，存在，使得
，不妨設.
先證：在上連續，，，因為
，由積分的絕對連續性（p85，定理4），，，，有.
故，，因，，故
. 所以，.
同理，對於，用上述完全類似方法可得.故，在
上連續.
又因為（根據p89的定義4）.所以，使得
.故，由在閉區間上的介值定理（連續函式的介值定理），，使得，有
.10.設是上的可測函式，是大於1的數，2是的共軛輸，即.如果對任意，都有，試證.
11，試證：（i）.
(ii).
證明：（i）時，（尋找控制函式）
當時：；
當時：. 令，從而，，且在是可積的，故在是可積的.
又因為.由控制收斂定理，
. (ii),定義，並且，
.,有.
下面證明：，.
事實上，，令，，取，則
.又記，又因
.所以，
關於單調遞減，且.故，有
，即.故在單調增加，從而，
. 所以.因此，
，.. 因為在上可積，由控制收斂定理，
. 12.設，試證明：在上當且僅當.
證明： ，，因為.因為（在上），所以，.故在上，
. 又因為，，且，由有界收斂定理，有
. 對於，因
. 故，.從而.即.
§4.2積分極限定理
一．定理（非負可測函式序列的積分與極限可交換性）
二．控制收斂定理.
定理4（定理的絕對連續性定理）若在上可積，則，，：
，有. 證明：因為可積，所以可積（只需證：，）
，.,.又因為.所以，使
.`要找，使，，有
. 定理5（控制收斂定理）設
（i），是上可測函式序列.
(ii) 存在非負可積函式使得， .
(iii) ,.則在上可積，並且
.基礎知識複習
th（p60，定理4） th（p61，定理5）
存在子列
控制收斂定理的證明：
因為，由th，存在子列.因此，在上可測.又因為，.，所以，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.
（1）先證：時，有., ,記.則.
因為在上可積，由積分的絕對連續性，，使，，有
. 又因為，所以，
時，有.故.從而.
即，.（2）再證：時，也有.
,因為，所以，有
. 則
. 因為（由1的證明），所以，有
.即，.從而，
推論（有界收斂定理）.設
（i）（ii），（常數）且在上可測
（iii）
則在上可積，且.
定理6.在上可積在上的間斷點集是乙個零測集.
三．定理.
定義1.設是可測集，是上的一簇可積函式，稱是上的積分等度絕對連續函式簇，如果，，，，恒有.
基本性質：設是可測集，是上的一簇可積函式，則在上是積分等度絕對連續的，，，，恒有.
證明： ，因為在上是積分等度絕對連續，所以，，，有.
記，，則且.所以，.
直接的.
定理7.(定理).設
（i）.
（ii）是上積分等度絕對連續函式簇.
（iii）.
則在上可積，且.
證明：先證：在上可積.(找乙個可積函式，使得
（1）先證：，，使得，恒有.
事實上，，取，由在上積分等度絕對連續性， 使得，時， ，.
記，則.
因為，所以.所以對於， ，，恒有
，則時，.所以
.即（1）為真.
又因為，由定理，有子列使，.不失一般性，，設，於是， .
令. (2)再證： 且.事實上，
由基本定理（第82頁，定理2），有
.從而在可積，又由.在上可積.
最後證：.
,因為在上可積，由積分的絕對連續性，，：，有.取充分大的自然數使，則時，有，從而，
. 找乙個可積函式使得.因為，由定理，存在子列： .於是.則
. 記.則
. 若， ，則，即可積.
在可積.
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