《習題4部分習題解答》
1．證：（1）在上連續；
（2），在內可導；
（3）．
在上滿足羅爾定理的條件．
令得，則滿足條件的．
2．證：（1）在上連續；
（2）， 在內可導．
在上滿足拉格朗日中值定理的條件．
由，即， ．
4．解： 因為，
在，，上滿足羅爾定理的條件．
因此在內至少存在一點使，是方程的乙個實根．在內至少存在一點使，是方程的乙個實根．
在內至少存在一點使，是方程的乙個實根．
而為三次多項式，只能有三個實根，分別在區間，和內．14. 用洛必達法則求下列極限．
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
（7）（8）
（9）（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
(15 )
（16）
(17)
(18) 略.
15. 解：
，而，由得：
16．求下列函式的單調區間
（1）解：函式的定義域為
令得駐點，
當時，；當時，；當時，
因此函式的遞增區間為和，遞減區間為．
（2）解：函式的定義域為
， 令得駐點.
當時，；當時，
從而函式的遞增區間為，遞減區間為．
（3）解：函式的定義域為
， 令得駐點（）
但除了這些點外，.從而函式的遞增區間為．
（4）（）
解：函式（）的定義域為
， 令得駐點.
當時，；當時，
從而函式的遞增區間為，遞減區間為．
17．證明下列不等式
（1）證：設，
當時，. 單調增加，而
當時，即，故．
（2）證：設
當時，， 在上單調增加
當時，即， ．
（3）證：設，
則當時， 在上單調增加
當時， ，即．
（4）證：設，
則當時， 在上單調增加
當時， ，即．
20．求下列函式的極值點和極值
（1）解：的定義域為
令得駐點，
當時，；當和時，；
當時，.
故為極大值點，極大值；為極小值點，極小值．（3）解：的定義域為
令得駐點
當時，；當時，
故為極小值點，極小值．
（4）解：的定義域為
有不可導點.
在的兩側均有，故無極值點．
22．，由於在處取得極值
故，由得：
所以，極大值.
23．求下列函式在給定區間上的最值
（1），
解： 令，得駐點，，
，，，，
比較可知：在上的最大值為，
最小值為．
（2），
解： <0，在上單調減少
因此，在上的最大值為，最小值為．
（4），
解：，在上單調減少，
由此可知，在上的最大值為，最小值為．
24．在面積為的一切矩形中，求周長最小值．解：設矩形的長為，則其寬為，周長為 ，，令，得駐點（捨去）
則函式在上有唯一駐點
當時周長最小，最小值為．
25．設圓柱體底面半徑為，高為，造價為，依題意有，.
造價令得駐點．
又，知為最小值點．此時，有，即有，
即底面直徑與高的比例為時，造價最省．
28. 判定下列曲線的凹凸性並求出拐點
（1）解：函式的定義域，，
令，得，
當時，；當時，；當時，
曲線的凸區間為和，凹區間為
拐點為和．
（2）解：函式的定義域為，，
由於，故曲線在上為凸的，無拐點．
（3）解：函式的定義域為，，
令，得當時，； 當時，.
曲線的凸區間為，凹區間為. 拐點為．（4）解：函式的定義域為，，
令，得，
當時，；當時，；當時，.
曲線的凸區間為，凹區間為和，拐點為和．
29. 已知點是曲線的拐點，且在點取得極值，求，，？
解：由於是曲線的拐點，故在曲線上，即，且．由是函式的極值點得：
， 解得
30. 求下列曲線的漸近線．
(1)解：由於，故為曲線的一條鉛直漸近線；
由於，故為曲線的一條水平漸近線；
(3)解：由於，故為曲線的一條鉛直漸近線；
由於，，
故為曲線的一條斜漸近線．
(4)解：由於，故為曲線的一條水平漸近線.
34．由題意，，
，．由，得，又，即當產量為240單位時，利潤最大，最大利潤為： （元）
35．（1）
當時, 邊際成本為：（元）
（2）當時，平均單位成本為：（元）
《自測題4》
一、填空題
1．，由得所求的= 0 ．
2． 3．，令得函式在區間的駐點為：.
4．，∴曲線的鉛直漸近線為．
二、選擇題
2. a 3. c 4. c 5. d三、計算
1．求下列函式的極限
（1）（2）
2．略.
3．判定曲線的凹凸性與拐點．
解：函式的定義域為.，
令，得當時，，曲線在上是凸的
當時，，曲線在上是凹的
由於在的兩側二階導數的符號發生了改變，故為拐點．4．求曲線的漸近線．
解：∵，故為鉛直漸近線；
∵，，故為斜漸近線．
5．，由得：
五. 略.
實變函式第四章習題解答
第四章習題參考解答 1 設是上的可積函式，如果對於上的任意可測子集，有，試證 證明 因為，而，由已知，又因為，所以，故,從而 即，2.設，都是上的非負可測函式，並且對任意常數，都有 試證 從而，證明 我們證，是同乙個簡單函式序列的極限函式.及，令，並且 則是互不相交的可測集，並且，定義簡單函式 下面...
第四章習題
a 平均產量曲線 b 縱軸 c 橫軸d 總產量曲線 3 邊際產量曲線與平均產量曲線相交於 a.邊際產量遞增階段 b.平均產量最大時 c.平均產量最小時 d.邊際產量最大時 4 在總產量 平均產量和邊際產量的變化過程中先發生 a.邊際產量下降 b 平均產量下降 c.總產量下降 d b和c 5 一種可變...
第四章習題
1設隨機變數服從引數為1的指數分布，則數學期望 2 設隨機變數服從均值為2，方差為的正態分佈，且，則 3 設隨機變數與相互獨立，且服從區間 0，2 上的均勻分布，服從引數為3的指數分布，則 4設隨機變數服從引數為的泊松分布，且已知，則 5 設隨機變數在區間上服從均勻分布，並且隨機變數 則方差6 設與...