數列考向分析
從近幾年山東的高考考查趨勢來看，本專題的重點內容是:
(1)等差數列, 等比數列
等差(等比)數列的定義(證明)、通項、前n項和公式、等差(等比)中項、等差(等比)數列的性質(選擇和填空)；
(2)求數列的通項
構造新數列，累加，累乘
(3)求數列的前n項和
分組求和,錯位相減,倒序相加，裂項相消
(4)數列的綜合考查
數列與其他知識的綜合應用(與不等式,函式的綜合)
用數列知識解決實際問題．
考情分析
(1) 從形式上看，
小題考性質,大題考能力.
考查等差數列與等比數列的性質以選擇題、填空題的形式出現，難度較小.
證明等差、等比數列多出現在大題中，難度中等，對數列的綜合及數學歸納法的考查多以解答題為主，涉及不等式放縮的，屬於中高檔難度題．以數列知識為載體，考查不等式的內容近年來呈現流行趨勢，其主要目的是考查學生綜合應用數學知識的能力．
求數列的通項和前n項和經常出現在大題中.
注意與不等式的結合。
(2) 從能力上看，側重考查基本技能和基本方法，如函式與方程的思想，化歸的思想，分類討論的思想，待定係數法、整體消元思想等方法及邏輯推理能力等．
(3) 數學歸納法有加強的趨勢，會與數列、不等式相結合，重點考查歸納結論和利用歸納法證明．
備考策略
複習時，需要關注以下方面：
(1) 等差、等比數列的基本性質是數列的基礎內容，必須熟練掌握；
(2) 求數列的通項公式和求數列的前n項和是數列知識中的主要內容.
其中由遞推關係求數列的通項公式是考查的重點，特別要注意待定係數法的運用，注意體會轉化思想的滲透．
數列求和中要注意錯位相減、倒序相加、裂項相消等基本方法．
第一講等差數列與等比數列
一、等差數列主幹知識整合
1 定義：an－an－1＝d (d為常數，n≥2，n∈n*)．
2 通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d (n，m∈n*)．
3 求和公式：sn＝，sn＝na1＋d (n∈n*)；
4 性質：（常考點）
性質1：若m，n，k，l∈n*，且m＋n＝k＋l，則am＋an＝ak＋al.
性質2：an＝an＋b(a、b是常數)是為等差數列的充要條件．
性質3：數列前n項和sn＝an2＋bn(a≠0)是為等差數列的充要條件．
性質4：若和均是等差數列，則仍為等差數列，m，k為常數．
性質5：等差數列中依次k項和成等差數列，即sk，s2k－sk，s3k－s2k，…成等差數列，公差為k2d.
性質6：項數為奇數2n－1的等差數列有s2n－1＝(2n－1)an(an為中間項)．
性質7 項數為偶數2n的等差數列，有
性質8 項數為奇數2n-1的等差數列，有
性質9 等差數列中有若；若
若5 等差數列的單調性（最值問題）
d>0 等價於遞增數列，sn最小值
d<0 等價於遞減數列，sn最大值
d=0 等價於常數列
二、等差數列考點分析
1.等差數列的判斷方法
(1).定義法
(2).通項公式法
(3).中項公式法
(4).前n項和公式法
例已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(ⅰ)令
(ⅱ)求數列
(ⅲ)設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。
2.等差數列的性質應用（求和、求通項）
例在等差數列中，，前項和滿足條件，
（ⅰ）求數列的通項公式；
例已知等差數列中，的值是（ ）
a．15b．30c．31d．64
例已知等差數列中，a2+a8=8，則該數列前9項和s9等於( c )
a．18 b．27 c．36 d．45
例設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝
（abcd）
3.等差數列前n項和的最值問題
例已知為等差數列，以sn表示的前ｎ項和，則使得sn達到最大值的ｎ是
三、等比數列主幹知識整合
1 定義：＝q (q為常數，n≥2，n∈n*)．
2 通項公式：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
3 求和公式：sn＝（分類討論思想）
4 性質：（常考內容）
性質1: 若為等比數列，m，n，k，l∈n*，且m＋n＝k＋l，則am·an＝ak·al.
性質2: 若和均是等比數列，則仍為等比數列．
性質3：等比數列中依次k項和成等比數列，即sk，s2k－sk，s3k－s2k，…成等比數列， 公比為qk(公比q不為－1)．
性質4: 等比數列中依次k項積成等比數列，記tn為前n項積，即tk，，，…成等比數列，其公比為qk2.
5 等差數列的單調性（最值問題）噹噹
噹噹四、等比數列考點分析
1.等比數列的判斷方法
(1) 定義法
(2) 通項公式法
(3) 中項公式法
(4) 前n項和公式法
2.等比數列的性質應用（求和、求通項）
例在等比數列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，則a2a3a4a5a6a7a8a9=（ ）
a. 81b. 27cd. 243
例在等比數列中, ,前項和為,若數列也是等比數列,則等於（ ）
(a) (bc) (d)
例在等比數列中，公比，若數列有連續四項在集合中，則
第二講求通項和求和
一． 求數列的通項公式
1. 已知數列的前n項和求通項
例設數列的前n項和為sn，sn= (對於所有n≥1)，且a4=54，則a1的數值是
例設數列的前n項和為，點均在函式y＝3x－2的影象上。（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m。
2. 已知遞推式求通項
（2.1）
例已知數列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈n)
（ⅰ）求數列｛a｝的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈n*),證明:是等差數列;
（ⅲ）證明: (n∈n*).
（2.2）
例已知數列，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….
（i）求a3, a5； （ii）求的通項公式.
（2.3）
（2.4）
例設數列中的前項和，已知
（1）設，證明數列是等比數列
（2）求數列的通項公式
(2.5) an+1= p·anr (p、r為常數時)型，兩邊取對數
3.已知數列的前n項積求通項
4.週期性
例已知數列滿足，則=（ ）
a．0 b． c． d．
5.觀察法
例已知數列，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則的通項
1n=1,
an=n≥2. (答案: )
6.構造新數列
例已知各項均為正數的數列，滿足：，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，，求，並確定最小正整數，使為整數．
二． 求數列的前n項和
1. 裂項相消法
條件：適用於其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等；
例1．已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。
例2．求。
2. 錯位相減法
條件：適用於其中是等差數列，是各項不為0的等比數列。
例3．設a為常數，求數列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。
例4．已知，數列是首項為a，公比也為a的等比數列，令，求數列的前項和。
例在等差數列中，，前項和滿足條件，
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）記，求數列的前項和。
3. 分組求和法
分組後可由其他方法分別求和
例在數列中，
（1） 設，求數列的通項公式
（2） 求數列的前ｎ項和
4. 倒序相加法
首位相加有規律可循
例5．求。
例6．設數列是公差為，且首項為的等差數列，
題型4：其他方法
例7．求數列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項和。
例8．求數列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項的和。
題型6：數列實際應用題
例11．某企業進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以後每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以後每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.
若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的複利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（取）2．常用結論
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）（4）（5）（6）已知點（1，）是函式且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列{前項和為，問》的最小正整數是多少?
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