第四章習題解答
4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。
解：#4.2 求能量表象中，一維無限深勢阱的座標與動量的矩陣元。
解：基矢：
能量：對角元當時， #
4.3 求在動量表象中線性諧振子的能量本徵函式。
解：定態薛丁格方程為
即兩邊乘以，得
令跟課本p.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本徵值和本徵函式為
式中為歸一化因子，即
#4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。
解：#4.5 設已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為
求它們的本徵值和歸一化的本徵函式。最後將矩陣對角化。
解：的久期方程為
∴的本徵值為
的本徵方程
其中設為的本徵函式共同表象中的矩陣
當時，有
由歸一化條件
取對應於的本徵值0 。
當時，有
∴由歸一化條件
取∴歸一化的對應於的本徵值
當時，有
∴由歸一化條件
取∴歸一化的對應於的本徵值
由以上結果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為
∴對角化的矩陣為
按照與上同樣的方法可得
的本徵值為
的歸一化的本徵函式為
從的共同表象變到表象的變換矩陣為
利用s可使對角化
#4.6. 求連續性方程的矩陣表示
解：連續性方程為
∴而寫成矩陣形式為
《量子力學》考試大綱
一．緒論（3）
1．了解光的波粒二象性的主要實驗事實；
2．掌握德布羅意關於微觀粒子的波粒二象性的假設。
二．波函式和薛丁格方程（12）
(1)理解量子力學與經典力學在關於描寫微觀粒子運動狀態及其運動規律時的不同觀念 。
(2)掌握波函式的標準化條件：有限性、連續性、單值性．
(3)理解態疊加原理以及任何波函式ψ(x，t)按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義．
(4)了解薛丁格方程的建立過程以及它在量子力學中的地位；薛丁格方程和定態薛丁格方程的關係；波函式和定態波函式的關係．
(5)對於求解一維薛丁格方程，應掌握邊界條件的確定和處理方法．
(6)關於一維定態問題要求如下：
a．掌握一維無限阱的求解方法及其物理討論；
b．掌握一維諧振子的能譜及其定態波函式的一般特點：
c．了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋．
三．力學量用算符表達（17）
(1) 掌握算符的本徵值和本徵方程的基本概念；厄公尺算符的本徵值必為實數；座標算符和動量算符以及量子力學中一切可觀察的力學量所對應的算符均為厄公尺算符．
(2) 掌握有關動量算符和角動量算符的本徵值和本徵函式，它們的歸一性和正交性的表達形式，以及與這些算符有關的算符運算的對易關係式．
(3)電子在正點電荷庫侖場中的運動提供了三維中心力場下薛丁格方程求解的範例，學生應由此了解一般三維中心力場下求解薛丁格方程的基本步驟和方法，特別是分離變數法．
(4)掌握力學量平均值的計算方法．將體系的狀態波函式ψ(x)按算符的本徵函式展開是這些方法中常用的方法之一，學生應掌握這一方法計算力學量的可能值、概率和平均值．理解在什麼狀態下力學量具有確定值以及在什麼條件下，兩個力學量同時具有確定值．
(5)掌握不確定關係並應用這一關係來估算一些體系的基態能量．
(6)掌握如何根據體系的哈密頓算符來判斷該體系中可能存在的守恆量如：能量、動量、角動量、宇稱等．
四．態和力學量的表象（10）
(1)理解力學量所對應的算符在具體的表象下可以用矩陣來表示；厄公尺算符與厄公尺矩陣相對應；力學量算符在自身表象下為一對角矩陣；
(2)掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本徵值、本徵矢的矩陣方法．
(3)理解狄拉克符號及占有數表象
五．微擾理論（16）
(1)了解定態微擾論的適用範圍和條件：
(2)對於非簡併的定態微擾論要求掌握波函式一級修正和能級一級、二級修正的計算．
(3)對於簡併的微擾論，應能掌握零級波函式的確定和一級能量修正的計算．
(4)掌握變分法的基本應用；
(5)關於與時間有關的微擾論要求如下：
a．了解由初態躍遷到末態的概率表示式，特別是常微擾和週期性微擾下的表示式；
b．理解由微擾矩陣元hfi≠0可以確定選擇定則；
c．理解能量與時間之間的不確定關係：δeδt∽
d．理解光的發射與吸收的愛因斯坦係數以及原子內電子由態躍遷到態的輻射強度均與矩陣元的模平方∣∣2 成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數和磁量子數的選擇定則．
(5)了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋．
*六、散射問題（8）
七．自旋和全同粒子（15）
(1)了解斯特恩—格拉赫實驗．電子自旋迴轉磁比率與軌道迴轉磁比率．
(2)掌握自旋算符的對易關係和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)．與自旋相聯絡的測量值、概率、平均值等的計算以及本徵值方程和本徵函式的求解方法．
(3)了解簡單塞曼效應的物理機制．
(4)了解l-s藕合的概念及鹼金屬原子光譜雙線結構和物理解釋．
(5)根據量子力學的全同性原理、多體全同粒子波函式有對稱和反對稱之分．掌握玻色子體系多體波函式取交換對稱形式，費公尺子體系取交換反對稱形式，以及費公尺子服從泡利不相容原理．
(6)理解在自旋與軌道相互作用可以忽略時，體系波函式可寫為空間部分和自旋部分乘積形式．對於兩電子體系則有自旋單重態和三重態之分．前者自旋波函式反對稱，空間波函式對稱；後者自旋波函式對稱，空間波函式反對稱．
(7)作為乙個具體的例項:了解氦原子能譜有正氦和仲氦之分的物理機制．
教材：《量子力學教程》（周世勳）
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《結構力學習題集》第四章
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