第二章習題參考解答
1：證明：有理數全體是中可測集，且測度為0.
證：（1）先證單點集的測度為0.，令.,
，因為，為開區間
.故.所以可測且.
（2）再證：中全體有理數全體測度為0.
設是中全體有理數，，令.則是兩兩不相交的可測集列，由可測的可加性有：.
法二：設，，令，其中是預先給定的與無關的正常數，則：.由得任意性，.
2.證明：若是有界集，則.
證明：若是有界.則常數，使，有
，即，有，從而
. 所以
3.至少含有乙個內點的集合的外測度能否為零？
解：不能.事實上，設，中有乙個內點.,使得
.則所以.
4.在上能否作乙個測度為，但又異於的閉集？
解：不能
事實上，如果有閉集使得.不失一般性，可設且.事實上，若，則可作，.且.這樣，我們可記為新的，從而.
如果，即，而是開集，故是
的乙個內點，由3題，.這與
矛盾. 故不存在閉集且
5.若將§1定理6中條件去掉，等式是否仍成立？
解：§1定理6中條件是不可去掉的.
事實上，，令，則是兩兩相交的可測集列，由習題一得15題：.故，但，.所以
.從而.
6.設，是中具有下述性質的可測集列：，使，證明：
證：事實上，，因為，
7.證明：對任意可測集，下式恆成立.
證明：且
故.即 又因為.且，所以
故，從而
8.設是，是中的兩個可測集且滿足，證明：.
證：.又因為
所以 9.設，，是中的兩個可測集，且，證明：
證： =
. 所以
又因為==
=+].所以
= 因為
.所以.
10.證明：存在開集，使
證明：設是閉區間的一切有理數，對於，令
，並且是中開集
.而，，故.
11.設是中的不可測集，是中的零測集，證明：不可測.
證明：若可測.因為，所以.即
.故可測.從而可測，這與不可測矛盾.
故不可測.
12.若是中的零測集，若閉集是否也是零測集.
解：不一定，例如：是中的有理數的全體.
.,但.
13.證明：若是可測集，則，存在型集，型集，使
， 證明：由p51的定理2，對於，存在型集，使得.由得可測性，.則..即，.
再由定理3，有型集使得.且
15.證明：有界集可測當且僅當，存在開集，閉集，使得
. 證明： ，由已知，存在開集，閉集使得.
令，則.，
.所以，.即是零測集，可測.
從而，可測
設是有界可測集
因為，為開長方體.故，，存在開長方體序列，使得.有.
另一方面，由得有界性，存在中閉長方體.記，則是中有界可測集.並且.
由得有界可測性，存在開集有.因為，故.因此=
令，，則是乙個閉集，並且由，有
.因此，從而，存在開集，閉集.有
. 由的任意性知，.即是零測集.從而，位於軸上的任意集
，因此，為零測集.
16.證明：若是單調增加集列（不一定可測）且，則
證明：，即，有界並且
故，即單調遞增有上界.所以，存在並且
下證：.
由於有界，可作乙個開長方體，有，.
,因為，為開長方體}.故，存在開長方體序列使得，且.
令，則為有界開集，且，.
，又令.且，則由知，
是單調遞增的可測序列，由p46的定理4，.
又由，，有.從而
.故.由得任意性，即得
.從而，.
17.證明：中的集類具有連續勢.
證明：為了敘述方便，我們僅以為例進行證明：
用表示上的開區間，用表示上的乙個點.表示上的所有開區間的集合；表示所有閉集；和分別表示所有的型集，所有型集.
因為，又因為
.故.所以.
又因為，有.所以.又定義對映
，，有.故是乙個滿射.所以
. 故.
又定義： ， , ,
則與都是滿射.所以.即，.同理，.
記時上的集的全體.因集合的「差」運算可以化成「交」運算，例如：
.因此，中的每個元都是中可數元的並，交後而成.故
. 從而，.即，上集的全體的勢為.
18.證明對任意的閉集，都可找到完備集，使得.
19.證明：只要，就一定可以找到，使對，有.
證明：設，.首先將劃分成可數邊長為的左開右閉的維長方體
.則互不相交且至多可數.不妨記為，.
因，則.故，有.又因
互不相交且至多可數.故可記，其中
，又由，.故，所以，
，有. 這樣下去得乙個單調遞減的可測集列，其中：，
.記，故閉集列單調遞減且，.
由閉集套定理，.
對於，因，取，使.則
，故. 20.如果可測，，記.證明：也可測，且.
證明：（1）先證：
因為，為開長方體，對於開長方體序列，若，則，也是開長方體序列，且=
.即.因此，為開長方體.
另一方面，，因為，為開長方體.故存在開長方體序列.所以，故
.由得任意性，知
.從而 （2）再證：可測
事實上，，，由得可測性，
.故， .
因此.可測.
因此，當可測時，.
下面是外測度的平移不變性定理.
定理（平移不變性）設，，記.則
證明：當是中開長方體時也是乙個開長方體，且其相應的邊均相同，故
. 如果是中的任意點集，對於德任意由開長方體序列構成的覆蓋，
也是，且仍是開長方體序列，故
.所以，為開長方體=
.即. 下證：
令，由上面的證明知， .所以
.從而，.
21.設，.是零測集，證明：也是零測集.
證明：設，
（1）當時，，當，則存在開區間到
使得，且.故
..所以.
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