第二章習題解答
2.1 求均勻扇形薄片的質心，此扇形的半徑為,所對的圓心角為2，並證半圓片的質心離圓心的距離為。
解：均勻扇形薄片，取對稱軸為軸，由對稱性可知質心一定在軸上。有質心公式
設均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，
又因為所以對於半圓片的質心，即代入，有
2.3 重為的人，手裡拿著乙個重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去，跳的距離增加了多少？
解建立如圖所示的直角座標，原來與共同作乙個斜拋運動。
當達到最高點人把物體水皮丟擲後，人的速度改變，設為，此人即以的速度作平拋運動。由此可知，兩次運動過程中，在達到最高點時兩次運動的水平距離是一致的（因為兩次運動水平方向上均以作勻速直線運動，運動的時間也相同）。所以我們只要比較人把物丟擲後水平距離的變化即可。
第一次運動：從最高點運動到落地，水平距離
第二次運動:在最高點人丟擲物體，水平方向上不受外力，水平方向上動量守恆，有
可知道水平距離
跳的距離增加了 =
2.5 半徑為，質量為的薄圓片，繞垂直於圓片並通過圓心的豎直軸以勻角速轉動，求繞此軸的動量矩。
解因為質點組隊某一固定點的動量矩
所以對於連續物體對某一定點或定軸，我們就應該把上式中的取和變為積分。如圖2.5.1圖所示薄圓盤，任取一微質量元，
所以圓盤繞此軸的動量矩 =
2.6 一炮彈的質量為，射出時的水平及豎直分速度為及。當炮彈達到最高點時，其內部的炸藥產生能量，使此炸彈分為及兩部分。
在開始時，兩者仍沿原方向飛行，試求它們落地時相隔的距離，不計空氣阻力。
解：炮彈達到最高點時**，由題目已知條件**後，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個部分，，速度分別變為沿水平方向的，，並一此速度分別作平拋運動。由前面的知識可知，同一高處平拋運動的物體落地時的水平距離之差主要由初速度之差決定。
進而轉化為求，。炮彈在最高點炮炸時水平方向上無外力，所以水平方向上的動量守恆：
① 以質點組作為研究物件，**過程中能量守恆：
②聯立①②解之，得
所以落地時水平距離之差
=2.8 一光滑球與另一靜止的光滑球發生斜碰。如兩者均為完全彈性體，且兩球的質量相等，則兩球碰撞後的速度互相垂直，試證明之。
證以連線為軸建立如題2.8.1圖所示的座標。
設初始速度為與軸正向夾角碰撞後，設、運動如題2.8.2圖所示。、速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究物件，系統不受外力，動量守恆。方向：
①垂直軸方向有： ②
可知整個碰撞過程只有系統內力做功，系統機械能守恆：④
由③④得即：
即兩球碰撞後速度相互垂直，結論得證。
2.9 一光滑小球與另一相同的靜止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球運動的方向與碰撞時兩球的聯心線成角。求碰撞後第一小球偏過的角度以及在各種值下角的最大值。設恢復係數為已知。
解類似的碰撞問題，我們一般要抓住動量守恆定理和機械能守恆定理得運用，依次來分析條件求出未知量。設相同小球為，初始時小球速度，碰撞後球的速度為，球的速度以碰撞後球速度所在的方向為軸正向建立如題2.9.
1圖所示的座標(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡化表示式)。以、為系統研究，碰撞過程中無外力做功，系統動量守恆。
方向上有： ①
方向上有： ②
又因為恢復係數 即用
用④代入②得
求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。
我們有得
即 =0 所以
即由因為 =
故=所以
2.10 以為研究物件。當發生正碰撞後，速度分別變為，，隨即在不可伸長的繩約束下作圓周運動。以的連線為軸建立如題2.10.1圖所示。
碰撞過程中無外力做功，動量守恆：①
隨即在的約束下方向變為沿軸的正向，
速度變為故方向上有
②故恢復係數定義有：
= 即 ③
聯立①②③得
2.12質量為的球以速度與質量為的靜止球正碰。求碰撞後兩球相對於質心的速度和又起始時，兩球相對於質心的動能是多少？恢復係數為已知。
解對於質心系的問題，我們一般要求求出相對固定參考點的物理量，在找出質心的位置和質心運動情況，由此去計算物體相對或絕對物理量及其間的關係。由題可知，碰前速度為，速度。碰後速度，分別設為。
碰撞過程中無外力做功，動量守恆。
①有恢復係數
聯立①②得
再由質點組質心的定義：
為質心對固定點位矢，，分別為 ，對同一固定點的位矢
所以（質點組不受外力，所以質心速度不變。）
設兩球碰撞後相對質心的速度，。
（負號表示與相反）
同理，碰撞前兩球相對質心的速度
（負號表示方向與相反）
所以開始時兩球相對質心的動能：
==2.13長為的均勻細鏈條伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向與桌邊緣垂直，此時鏈條的一半從桌上下垂。起始時，整個鏈條是靜止的。
試用兩種不同的方法，求此鏈條的末端滑到桌子邊緣時，鏈條的速度。
用機械能守恆方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機械能守恆。以桌面所平面為重力零勢能面。
有2.15機槍質量為m，放在水平地面上，裝有質量為的子彈。機槍在單位時間**出的質量為m.其相對地面的速度則為，如機槍與地面的摩擦係數為，試證當全部射出後，機槍後退的速度為
解這是一道變質量的問題，對於此類問題，①
以機槍後退方向作為軸爭先，建立如題2.15.1圖的座標。
豎直方向上支援力與重力是一對平衡力。水平方向上所受合外力f即為摩擦力
②單位時間質量的變化 ③
由①②式
所以2.16 雨滴落下時，其質量的增加率與雨滴的表面積成正比例，求雨滴速度與時間的關係。
解這是乙個質量增加的問題。雨滴是本題。導致雨滴變化的微元的速度。 ①
雨滴的質量變化是一模擬較特殊的變質量問題。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。對於雨滴我們常看成球形，設其半徑為，則雨滴質量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。②
有題目可知質量增加率與表面積成正比。即③
為常數。我們對②式兩邊求導④
由於③=④，所以⑤
對⑤式兩邊積分
以雨滴下降方向為正方向，對①式分析
當時，，所以
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